Armónicos en una cuerda tensa (Ene. 2018 G.I.C.)

Enunciado

Una cuerda de longitud $L=35.0\,\mathrm {m}$ tiene una densidad de masa lineal $\mu =0.0850\,\mathrm {g/cm}$ y soporta una tensión $F_{T}=18.0\,\mathrm {N}$. Se excita un onda estacionaria en la cuerda. Calcula las frecuencias de los dos primeros armónicos cuando

1. Los dos extremos están fijos.
2. Un extremo está fijo y el otro está libre.

Solución

Los dos extremos fijos

En esta situación las longitudes de onda de los modos posibles de oscilación tienen que ser tales que los dos extremos de la cuerda correspondan a nodos. Como dos nodos están separados por la mitad de la longitud de onda de las ondas que interfieren para producir la onda estacionaria, la distancia entre los extremos de la cuerda, $L$ debe ser un múltiplo de la mitad de la longitud de onda

$L=n\,{\dfrac {\lambda _{n}}{2}}\qquad \qquad n=1,2,3\ldots$

Para cada modo, la relación entre frecuencia y longitud de onda es

$f_{n}\lambda _{n}=v,$

siendo $v$ la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Entonces

$L=n\,{\dfrac {v}{2f_{n}}}\Longrightarrow f_{n}=n\,{\dfrac {v}{2L}}\qquad \qquad n=1,2,3\ldots$

La velocidad de propagación es

$v={\sqrt {\dfrac {F_{T}}{\mu }}}=46.0\,\mathrm {m/s}$

Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son

${\begin{array}{l}f_{1}={\dfrac {v}{2L}}=0.657\,\mathrm {Hz} \\\\f_{2}=2{\dfrac {v}{2L}}=1.31\,\mathrm {Hz} \end{array}}$

En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.

Un extremo fijo y uno libre

Ahora el extremo fijo debe ser un nodo y el libre un antinodo. La distancia entre un nodo y vientre consecutivos es un cuarto de la longitud de onda de las ondas que interfieren. Por tanto debe cumplirse

$L=n\,{\dfrac {\lambda _{n}}{4}}\qquad \qquad n=1,3,5\ldots$

Las frecuencias correspondientes son

$f_{n}=n\,{\dfrac {v}{4L}}\qquad \qquad n=1,3,5\ldots$

Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son

${\begin{array}{l}f_{1}={\dfrac {v}{4L}}=0.329\,\mathrm {Hz} \\\\f_{3}=3{\dfrac {v}{4L}}=0.986\,\mathrm {Hz} \end{array}}$

Ahora las frecuencias de los armónicos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental. En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.