Enunciado

Una partícula de masa cuelga de una cuerda de longitud y un muelle de constante elástica y longitud natural nula, como se indica en la figura. El punto de anclaje del muelle está a una distancia del origen. Supondremos que la cuerda está tensa en todo momento.

  1. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa y el punto . Muestra correctamente la dirección y sentido de todas las fuerzas.
  2. Escribe la expresión del vector
  3. Suponiendo que , ¿cuál es el valor de para el que hay equilibrio mecánico?
  4. Para la situación de la pregunta anterior, ¿cuánto vale la tensión en la cuerda que une los puntos y ?

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y el punto . La fuerzas sobre la masa son su peso y la fuerza del trozo de cuerda entre ella y el punto . Sobre el punto actúan la fuerza que ejerce el trozo de cuerda debajo de él, la que ejerce el trozo entre y y la del muelle.

Expresión del vector

Este vector puede escribirse como

Estos dos vectores son

Entonces

Posición de equilibrio

Escribimos las fuerzas del diagrama en el sistema de ejes de la figura. Sobre la masa tenemos

Sobre el punto tenemos

Aplicamos la condición de equilibrio a cada cuerpo. Para la masa

Para el punto

Usando la condición dada por el enunciado, , y la ecuación (1), las ecuaciones (2) y (3) quedan

Dividiendo estas dos ecuaciones tenemos

Ahora sustituimos en (3) para obtener la tensión de la cuerda