Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 41: Línea 41:
<center><math>F_{T1}=F_{T2}+F_{T3}=2F_{T2}\,</math></center>
<center><math>F_{T1}=F_{T2}+F_{T3}=2F_{T2}\,</math></center>


Ya tenemos 5 ecuaciones. Queda una sexta, que sale de que los hilos son inextensibles. Por un lado tnemos, de la cuerda superior
Ya tenemos 5 ecuaciones. Queda una sexta, que sale de que los hilos son inextensibles. Por un lado tenemos, para la cuerda superior


<center><math>x_1+x_0=C_1\,</math></center>
<center><math>x_1+x_0=C_1\,</math></center>
Línea 47: Línea 47:
y, para la cuerda inferior,
y, para la cuerda inferior,


<center><math>(x_2-x_0)+(x_3-x_0) = C_2</math></center>
<center><math>(x_2-x_0)+(x_3-x_0) = C_2\,</math></center>
 
Podemos eliminar <math>x_0</math> de estas dos ecuaciones y llegamos a la ecuación de vínculo
 
<center><math>2x_1+x_2+x_3= 2C_1 + C_2 = C\,</math></center>
 
Si derivamos esta ecuación dos veces respecto al tiempo obtenemos una relación entre las aceleraciones
 
<center><math>2a_1+a_2+a_3= 0\,</math></center>
 
Con esto completamos el sistema de seis ecuaciones con 6 incógnitas
 
<center><math>\begin{array}{rcl}
m_1a_1&=&m_1 g - F_{T1}\\
m_2a_2&=&m_2 g - F_{T2}\\
m_3a_3&=&m_3 g - F_{T3} \\
`F_{T2} & = & F_{T3}\\
F_{T1} & = & F_{T2} \\
0 & = & 2a_1+a_2+a_3
\end{array}</math></center>
 
Para resolverlo escribimos, en primer lugar, todas las tensiones en función de <math>F_{T1}</math> y despejamos las aceleraciones
 
<center><math>\begin{array}{rcl}
a_1&=&g - \dfrac{F_{T1}}{m_1}\\
a_2&=&g - \dfrac{F_{T1}}{2m_2}\\
a_3&=&g - \dfrac{F_{T1}}{2m_3}
\end{array}</math></center>
 
Ahora combinamos las ecuaciones para que la suma se anule.
 
<center><math>0 = 2a_1+a_2+a_3 = 4g-F_{T1}\left(\dfrac{2}{m_1}+\dfrac{1}{2m_2}+\dfrac{1}{2m_3}\right)</math></center>
 
De esta ecuación obtenemos la tensión del hilo superior
 
<center><math>F_{T1}= 4g\left(\dfrac{2}{m_1}+\dfrac{1}{2m_2}+\dfrac{1}{2m_3}\right)^{-1}</math></center>
 
Conocida esta tensión podemos calcular la tensión del otro hilo (que será la mitad) y las aceleraciones de cada una de las masas.
 
Si damos valores numéricos llegamos a
 
<center><math>F_{T1}=4·9.8\left(\dfrac{2}{4}+\frac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\right)^{-1}=33.6\,\mathrm{N}</math></center>
 
La tensión del hilo inferior vale
 
<center><math>F_{T2}=\dfrac{F_{T1}}{2}=16.8\,\mathrm{N}</math></center>
 
Las aceleraciones de cada una de las masas valen:
 
<center><math>a_1=g-\frac{F_{T1}}{m_1}= 9.8-\frac{33.6}{4}=+1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 
<center><math>a_2=g-\frac{F_{T2}}{m_2}= 9.8-\frac{16.8}{1}=-7.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 
<center><math>a_1=g-\frac{F_{T3}}{m_3}= 9.8-\frac{16.8}{3}=+4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 
==Caso de la masa sujeta==

Revisión del 13:03 15 nov 2023

Enunciado

Se tiene el sistema de dos poleas y tres masas de la figura 5 (, , ). Los dos hilos son ideales (inextensibles y sin masa) y las poleas son ideales (sin masa ni fricción). Para este sistema calcule

  1. La aceleración de cada una de las masas.
  2. La tensión de cada uno de los dos cables.
  3. La fuerza que hace el soporte que sujeta el sistema al techo.

Suponga ahora que se sujeta la masa , de manera que no puede moverse.

  1. ¿Cuál es en ese caso la aceleración de cada una de las otras dos masas?
  2. ¿Cuánto vale la tensión de cada cable?
  3. ¿Qué fuerza hace el soporte superior y cuál el individuo que sujeta la masa ?

Tome .

Tensión y aceleraciones

Para cada una de las masas se aplica la segunda ley de Newton

donde hemos medido las distancias desde el centro de la polea superior hacia abajo. En este sistema tenemos 3 ecuaciones, pero 6 incógnitas (las tres aceleraciones y las tres tensiones). Necesitamos tres ecuaciones más.

Para las tensiones tenemos que las masas 2 y 3 están unidas por la misma cuerda, que pasa por una pole ideal (sin masa y sin rozamiento). Por tanto, las dos tensiones son iguales.

Para relacionar la tensión de la masa 1 debemos ver qué le ocurre a la polea que cuelga. Si llamamos “0” a esta polea tenemos

Esta ecuación añade una incógnita adicional. Si observamos que la polea 0 no tiene masa y está sujeta a tres fuerzas (la tensión de un cable que tira hacia arriba y las dos tensiones de otro que tiran hacia abajo se cumple

de donde

Ya tenemos 5 ecuaciones. Queda una sexta, que sale de que los hilos son inextensibles. Por un lado tenemos, para la cuerda superior

y, para la cuerda inferior,

Podemos eliminar de estas dos ecuaciones y llegamos a la ecuación de vínculo

Si derivamos esta ecuación dos veces respecto al tiempo obtenemos una relación entre las aceleraciones

Con esto completamos el sistema de seis ecuaciones con 6 incógnitas

Error al representar (función desconocida «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{rcl} m_1a_1&=&m_1 g - F_{T1}\\ m_2a_2&=&m_2 g - F_{T2}\\ m_3a_3&=&m_3 g - F_{T3} \\ `F_{T2} & = & F_{T3}\\ F_{T1} & = & F_{T2} \\ 0 & = & 2a_1+a_2+a_3 \end{array}}

Para resolverlo escribimos, en primer lugar, todas las tensiones en función de y despejamos las aceleraciones

Ahora combinamos las ecuaciones para que la suma se anule.

De esta ecuación obtenemos la tensión del hilo superior

Conocida esta tensión podemos calcular la tensión del otro hilo (que será la mitad) y las aceleraciones de cada una de las masas.

Si damos valores numéricos llegamos a

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle F_{T1}=4·9.8\left(\dfrac{2}{4}+\frac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\right)^{-1}=33.6\,\mathrm{N}}

La tensión del hilo inferior vale

Las aceleraciones de cada una de las masas valen:

Caso de la masa sujeta