Escalera con masa, Septiembre 2016 (F1 G.I.C.)

Enunciado

Una escalera homogénea, de masa $m$ y longitud $2L$, está apoyada en el suelo y en una pared vertical como se indica en la figura. El contacto es rugoso en el suelo y liso en la pared. El coeficiente de rozamiento estático entre la escalera y el suelo es $\mu$. Una masa $m$ se sitúa sobre la escalera en el punto $C$, de modo que se encuentra a una distancia $l_{C}$ del punto de apoyo de la escalera en el suelo.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del sólido, indicando correctamente el sentido de todas las fuerzas.
2. Considerando $l_{c}$ y $\alpha$ como datos, determina las reacciones vinculares que actúan sobre la escalera.
3. En las condiciones del apartado anterior, ¿que condición debe cumplirse para que el equilibrio sea posible?
4. ¿Que condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento estático para que la masa pueda ponerse en cualquier punto de la escalera sin que ésta deslice?

Solución

Diagrama de cuerpo libre

En la figura de la derecha se muestran las fuerzas que actúan sobre la escalera y sobre la masa. Las fuerzas sobre la masa son su peso y la fuerza de reacción vincular de la escalera. Esta fuerza es vertical, de otra manera la masa deslizaría escalera abajo. Es una escalera, no un plano inclinado. De la condición de equilibrio estático sobre la masa tenemos

${\vec {P}}_{c}+{\vec {\Phi }}_{e\to m}={\vec {0}}\Longrightarrow {\vec {\Phi }}_{e\to m}=-{\vec {P}}_{c}$

Las fuerzas que actúan sobre la escalera son su peso, las reacciones vinculares en $A$ y $B$, normales a las superficies, la fuerza de rozamiento en $A$, tangente a la superficie, y la fuerza de reacción vincular de la masa sobre la escalera. Estas fuerzas pueden escribirse

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}_{A}=N_{A}\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}_{B}=-N_{B}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {F}}_{A}^{r}=F_{R}\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {\Phi }}_{m\to e}=-{\vec {\Phi }}_{e\to m}={\vec {P}}_{c}=-mg\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Reacciones vinculares sobre la escalera

Para que la escalera esté en equilibrio mecánico las sumas de fuerzas externas y de momentos externos respecto a un punto deben ser nulas. De la suma de fuerzas obtenemos

${\vec {P}}+{\vec {N}}_{A}+{\vec {N}}_{B}+{\vec {F}}_{A}^{r}+{\vec {P}}_{c}={\vec {0}}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{lcl}(X)&\to &F_{R}-N_{B}=0\\&&\\(Y)&\to &N_{A}-2mg=0\end{array}}\right.$

Calculamos los momentos respecto del punto $A$. De este modo las fuerzas en ese punto no intervienen. Tenemos

${\overrightarrow {AG}}\times {\vec {P}}_{c}=(L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})\times (-mg\,{\vec {\jmath }})=-mgL\cos \alpha \,{\vec {k}}$

También

${\overrightarrow {AC}}\times {\vec {P}}_{c}=(l_{c}\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+l_{c}\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})\times (-mg\,{\vec {\jmath }})=-mgl_{c}\cos \alpha \,{\vec {k}}$

Y por último

${\overrightarrow {AB}}\times {\vec {P}}_{c}=(2L\cos \alpha \,{\vec {\imath }}+2L\,\mathrm {sen} \,\alpha \,{\vec {\jmath }})\times (-N_{B}\,{\vec {\imath }})=2N_{B}L\cos \alpha \,{\vec {k}}$

El momento externo neto es

${\vec {M}}_{A}={\overrightarrow {AG}}\times {\vec {P}}_{c}+{\overrightarrow {AC}}\times {\vec {P}}_{c}+{\overrightarrow {AB}}\times {\vec {N}}_{B}=(2N_{B}L-(L+l_{c})mg\cos \alpha )\,{\vec {k}}$

Como debe ser cero obtenemos

$N_{B}={\dfrac {1}{2}}\left(1+{\dfrac {l_{c}}{L}}\right)mg\cos \alpha$

Con esto tenemos las reacciones vinculares sobre la escalera

${\begin{array}{l}{\vec {N}}_{B}=-{\dfrac {1}{2}}\left(1+{\dfrac {l_{c}}{L}}\right)mg\cos \alpha \,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {N}}_{A}=2mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{A}^{r}={\dfrac {1}{2}}\left(1+{\dfrac {l_{c}}{L}}\right)mg\cos \alpha \,{\vec {\imath }}\end{array}}$

Condiciones para el equilibrio

La escalera no puede volcar nunca. El equilibrio sólo puede romperse por deslizamiento en el punto $A$. Por tanto la condición que debe cumplirse es

$|{\vec {F}}_{A}^{r}|\leq |{\vec {F}}_{A}^{r}|^{max}=\mu |{\vec {N}}_{A}|$

Por tanto

${\dfrac {1}{2}}\left(1+{\dfrac {l_{c}}{L}}\right)mg\cos \alpha \leq 2\mu mg$

Esto se puede leer como una condición de equilibrio para $l_{c}$. Para que haya equilibrio debe ocurrir

$l_{c}\leq L\left({\dfrac {4\mu }{\cos \alpha }}-1\right)$

Condición para equilibrio independientemente de la posición de la masa

El apartado anterior nos da un valor $l_{c}^{max}$ para que haya equilibrio. Si $l_{c}^{max}\geq L$, el equilibrio se mantendrá para cualquier valor de $l_{c}$. Para que sea así debe ocurrir

$l_{c}^{max}\geq L\Longrightarrow L\left({\dfrac {4\mu }{\cos \alpha }}-1\right)\geq L\Longrightarrow \mu \geq {\dfrac {\cos \alpha }{4}}$