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| ==Enunciado==
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| Se tiene el sistema de dos poleas y tres masas de la figura 5 (<math>m_1=4\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_2=1\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_3=3\,\mathrm{kg}</math>). Los dos hilos son ideales (inextensibles y sin masa) y las poleas son ideales (sin masa ni fricción). Para este sistema calcule
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| # La aceleración de cada una de las masas.
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| # La tensión de cada uno de los dos cables.
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| # La fuerza que hace el soporte que sujeta el sistema al techo.
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| Suponga ahora que se sujeta la masa <math>m_3=3\,\mathrm{kg}</math>, de manera que no puede moverse.
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| <ol start="4">
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| <li>¿Cuál es en ese caso la aceleración de cada una de las otras dos masas?</li>
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| <li>¿Cuánto vale la tensión de cada cable?</li>
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| <li>¿Qué fuerza hace el soporte superior y cuál el individuo que sujeta la masa <math>m_3</math>?</li>
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| </ol>
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| Tome <math>g=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.
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| <center>[[Archivo:doble-maquina-atwood.png|300px]]</center>
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| ==Tensión y aceleraciones==
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| Para cada una de las masas se aplica la segunda ley de Newton
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| <center><math>\begin{array}{rcl}
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| m_1a_1&=&m_1 g - F_{T1}\\
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| m_2a_2&=&m_2 g - F_{T2}\\
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| m_3a_3&=&m_3 g - F_{T3}
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| \end{array}</math></center>
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| donde hemos medido las distancias desde el centro de la polea superior hacia abajo. En este sistema tenemos 3 ecuaciones, pero 6 incógnitas (las tres aceleraciones y las tres tensiones). Necesitamos tres ecuaciones más.
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| Para las tensiones tenemos que las masas 2 y 3 están unidas por la misma cuerda, que pasa por una pole ideal (sin masa y sin rozamiento). Por tanto, las dos tensiones son iguales.
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| <center><math>F_{T2}=F_{T3}\,</math></center>
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| Para relacionar la tensión de la masa 1 debemos ver qué le ocurre a la polea que cuelga. Si llamamos “0” a esta polea tenemos
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| <center><math>F_{T1}=F_{T0}\,</math></center>
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| Esta ecuación añade una incógnita adicional. Si observamos que la polea 0 no tiene masa y está sujeta a tres fuerzas (la tensión de un cable que tira hacia arriba y las dos tensiones de otro que tiran hacia abajo se cumple
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| <center><math>-F_{T0}+F_{T2}+F_{T3}=m_0 a_0=0\,</math></center>
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| de donde
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| <center><math>F_{T1}=F_{T2}+F_{T3}=2F_{T2}\,</math></center>
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| Ya tenemos 5 ecuaciones. Queda una sexta, que sale de que los hilos son inextensibles. Por un lado tenemos, para la cuerda superior
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| <center><math>x_1+x_0=C_1\,</math></center>
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| y, para la cuerda inferior,
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| <center><math>(x_2-x_0)+(x_3-x_0) = C_2\,</math></center>
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| Podemos eliminar <math>x_0</math> de estas dos ecuaciones y llegamos a la ecuación de vínculo
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| <center><math>2x_1+x_2+x_3= 2C_1 + C_2 = C\,</math></center>
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| Si derivamos esta ecuación dos veces respecto al tiempo obtenemos una relación entre las aceleraciones
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| <center><math>2a_1+a_2+a_3= 0\,</math></center>
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| Con esto completamos el sistema de seis ecuaciones con 6 incógnitas
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| <center><math>\begin{array}{rcl}
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| m_1a_1&=&m_1 g - F_{T1}\\
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| m_2a_2&=&m_2 g - F_{T2}\\
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| m_3a_3&=&m_3 g - F_{T3} \\
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| F_{T2} & = & F_{T3}\\
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| F_{T1} & = & F_{T2} \\
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| 0 & = & 2a_1+a_2+a_3
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| \end{array}</math></center>
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| Para resolverlo escribimos, en primer lugar, todas las tensiones en función de <math>F_{T1}</math> y despejamos las aceleraciones
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| <center><math>\begin{array}{rcl}
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| a_1&=&g - \dfrac{F_{T1}}{m_1}\\
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| a_2&=&g - \dfrac{F_{T1}}{2m_2}\\
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| a_3&=&g - \dfrac{F_{T1}}{2m_3}
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| \end{array}</math></center>
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| Ahora combinamos las ecuaciones para que la suma se anule.
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| <center><math>0 = 2a_1+a_2+a_3 = 4g-F_{T1}\left(\dfrac{2}{m_1}+\dfrac{1}{2m_2}+\dfrac{1}{2m_3}\right)</math></center>
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| De esta ecuación obtenemos la tensión del hilo superior
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| <center><math>F_{T1}= 4g\left(\dfrac{2}{m_1}+\dfrac{1}{2m_2}+\dfrac{1}{2m_3}\right)^{-1}</math></center>
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| Conocida esta tensión podemos calcular la tensión del otro hilo (que será la mitad) y las aceleraciones de cada una de las masas.
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| Si damos valores numéricos llegamos a
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| <center><math>F_{T1}=4·9.8\left(\dfrac{2}{4}+\frac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\right)^{-1}=33.6\,\mathrm{N}</math></center>
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| La tensión del hilo inferior vale
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| <center><math>F_{T2}=\dfrac{F_{T1}}{2}=16.8\,\mathrm{N}</math></center>
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| Las aceleraciones de cada una de las masas valen:
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| <center><math>a_1=g-\frac{F_{T1}}{m_1}= 9.8-\frac{33.6}{4}=+1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
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| <center><math>a_2=g-\frac{F_{T2}}{m_2}= 9.8-\frac{16.8}{1}=-7.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
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| <center><math>a_1=g-\frac{F_{T3}}{m_3}= 9.8-\frac{16.8}{3}=+4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
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| ==Caso de la masa sujeta==
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