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| == Enunciado ==
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| [[Imagen:MR_GIC_Barra_muelle_horizontal.png|right]]
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| Una barra de longitud <math>2a</math> y masa <math>m</math> (sólido "2") desliza con un extremo (punto <math>A</math>) apoyado sobre un plano horizontal liso. El extremo <math>A</math> está unido a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula anclado en <math>C</math> que se mantiene siempre horizontal. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo. En <math>t=0</math> la barra estaba en reposo, el punto <math>A</math> coincidía con <math>O_1</math> y la barra estaba completamente vertical.
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| # Encuentra la expresión que da la cantidad de movimiento de la barra.
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| # Encuentra la expresión que da el momento cinético de la barra respecto del punto <math>A </math>.
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| #Determina las ecuaciones de movimiento del sistema.
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| #¿Cómo es la fuerza de ligadura en el punto <math>A </math>?
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| #Supongamos que se fuerza al punto <math>A</math> a moverse con velocidad uniforme <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1</math>. ¿Cual de estas fuerzas aplicadas en <math>A</math> consigue ese efecto?
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| == Solución ==
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| === Cantidad de movimiento ===
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| Vamos a determinar la reducción cinemática de la barra. Al ser un movimiento plano, y dado que el eje <math>X_2 </math> forma un ángulo <math>\theta </math> con el eje fijo <math>X_1 </math>, el vector rotación es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}
| |
| </math>
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| </center>
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| Por otro lado, la velocidad absoluta del punto <math>A </math> de la barra es
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Ahora calculamos la velocidad en el centro de masas de la barra
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Como
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \overrightarrow{AG} = a\,\vec{\imath}_2 = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| tenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{v}^{\,G}_{21} = (\dot{s} - a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta
| |
| )\,\vec{\imath}_1 + a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| y la cantidad de movimiento de la barra es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = m(\dot{s} - a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta
| |
| )\,\vec{\imath}_1 + ma\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
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| === Momento cinético en <math>A</math> ===
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| Calculamos primero el momento cinético en el centro de masas de la barra. El ser un movimiento plano, el momento cinético y el vector rotación son paralelos. La relación entre ellos es
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{L}_G = I\,\vec{\omega}_{21}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Aquí, <math>I</math> es el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular a ella que pase por el centro de masas:
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| <center>
| |
| <math>
| |
| I = \dfrac{1}{12}m(2a)^2 = \dfrac{1}{3}ma^2
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Entonces el momento cinético en el centro de masas es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_G = I\dot{\theta}\,\vec{k}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| No ponemos subíndice en el vector <math>\vec{k}</math> pues, en un movimiento plano, es el mismo para todos los sólidos.
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| Calculamos ahora el momento cinético en <math>A</math> usando la ecuación del campo de momentos cinéticos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_A = \vec{L}_G + \vec{C}\times\overrightarrow{GA}
| |
| = \vec{L}_G - \vec{C}\times\overrightarrow{AG}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Haciendo el cálculo tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_A = (-ma\dot{s}\,\mathrm{sen}\,\theta + (I+ma^2)\dot{\theta})\,\vec{k}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
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| === Ecuaciones de movimiento del sistema ===
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| [[Imagen:MR_GIC_Barra_muelle_horizontal_fuerzas.png|right]]
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| Vamos a usar los métodos de la Dinámica Vectorial. Primero dibujamos el diagrama
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| de fuerzas y momentos que actúan sobre la barra. La única ligadura que actúa,
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| (aparte del hecho de que el movimiento es plano) es la que impone que el punto
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| <math>A</math> de la barra no puede penetrar en el suelo. Por tanto hay que
| |
| introducir una fuerza de ligadura en <math>A</math> con componente vertical no
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| nula. Por otro lado, hay dos fuerzas activas actuando sobre la barra: el peso,
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| aplicado en <math>G</math>, y la fuerza que ejerce el muelle en <math>A</math>.
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| Expresamos estas fuerzas en la base "1"
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}_1\\
| |
| \\
| |
| \vec{F}_k = -k(s-d)\,\vec{\imath}_1\\
| |
| \\
| |
| \vec{N}_A = N\,\vec{\jmath}_1
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| ==== T.C.M.====
| |
| El Teorema de la Cantidad de Movimiento nos dice
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{\vec{C}} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}_A
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para calcular la derivada de la cantidad de movimiento, calculamos primero la
| |
| derivada temporal de la reducción cinemática en <math>A</math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{a}^{\,A}_{21} =
| |
| \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,A}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
| |
| \ddot{s}\,\vec{\imath}_1
| |
| \\
| |
| \\
| |
| \vec{\alpha}_{21} =
| |
| \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 =
| |
| \ddot{\theta}\,\vec{\imath}_1
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Ahora usamos la ecuación del campo de aceleraciones para calcular la aceleración
| |
| absoluta del centro de masas de la barra
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{AG}
| |
| - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{AG}
| |
| =
| |
| (\ddot{s} - a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta
| |
| -a\dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}_1
| |
| +
| |
| (a\ddot{\theta}\cos\theta -
| |
| a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Esta aceleración también puede calcularse derivando respecto al tiempo la
| |
| expresión de <math>\vec{v}^{\,G}_{21}</math>. La derivada temporal de la
| |
| cantidad de movimiento es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{\vec{C}} = m\vec{a}^{\,G}_{21} = m(\ddot{s} - a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta
| |
| -a\dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}_1
| |
| +
| |
| m(a\ddot{\theta}\cos\theta -
| |
| a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Cada componente del T.C.M. nos da una ecuación diferencial
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{llr}
| |
| (X): & m(\ddot{s} - a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta
| |
| -a\dot{\theta}^2\cos\theta) = -k(s-d) & (1)
| |
| \\
| |
| &&\\
| |
| (Y): & m(a\ddot{\theta}\cos\theta -
| |
| a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta) = -mg + N & (2)
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| ==== T.M.C. ====
| |
| Vamos a aplicar el Teorema del Momento Cinético en el punto <math>A</math>, pues
| |
| así sólo el peso interviene en el momento neto de las fuerzas. El punto
| |
| <math>A</math> es móvil, por lo que el teorema se escribe
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{\vec{L}}_A = \vec{M}^{\mathrm{ext}}_A +
| |
| \vec{C}\times\dot{\overrightarrow{O_1A}}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La derivada del momento cinético es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{\vec{L}}_A = ( (I+ma^2)\ddot{\theta} - ma\ddot{s}\,\mathrm{sen}\,\theta -
| |
| ma\dot{s}\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{k}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Sólo el peso ejerce momento
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{M}^{\mathrm{ext}}_A = \overrightarrow{AG}\times\vec{P} = -mga\cos\theta
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El término que falta es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{C}\times\dot{\overrightarrow{O_1A}} =
| |
| \vec{C}\times(\dot{s}\,\vec{\imath}_1) = -ma\dot{s}\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{k}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Por tanto, la ecuación que obtenemos del T.M.C. es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| (I+ma^2)\ddot{\theta} - ma\ddot{s}\,\mathrm{sen}\,\theta
| |
| =
| |
| -mga\cos\theta
| |
| \qquad (3)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Las ecuaciones (1) y (3) son ecuaciones diferenciales para los grados de
| |
| libertad <math>\{s(t), \theta(t)</math>. La ecuación (2) nos da el valor de la
| |
| fuerza de ligadura
| |
|
| |
| === Fuerza de ligadura en <math>A</math> ===
| |
| Usando la ecuación (2) tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{N}_A = (mg-ma\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta +
| |
| ma\ddot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| === Movimiento de <math>A</math> restingido ===
| |
| Para imponer el movimiento del punto <math>A</math> hay que aplicar una fuerza
| |
| de ligadura extra, pues lo que se impone es una traslación restringida. Esta
| |
| fuerza es de la forma
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{F}_A = F\,\vec{\imath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Este vínculo disminuye en 1 el número de grados de libertad. Las incógnitas
| |
| ahora son
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \{\theta, N, F\}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Aplicamos de nuevo los teoremas T.C.M. and T.M.C. para encontrar ecuaciones para
| |
| estas incógnitas. En realidad, lo único que cambia en el problema es la
| |
| aplicación del T.C.M., Como la fuerza <math>\vec{F}_A</math> está aplicada en
| |
| <math>A</math>, no ejerce momento respecto a ese punto, y la aplicación del
| |
| T.M.C. no cambia. En el T.C.M. sólo hay que añadir un término en la componente
| |
| <math>X</math>. Imponemos ademas las consecuencias de la ligadura sobre el
| |
| desplazamiento de <math>A</math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| s(t) = v_0t, \qquad \dot{s}=v_0, \qquad \ddot{s}=0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Hemos usado que <math>s(0)=0</math> para obtener la primera expresión. El T.C.M.
| |
| ahora es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{\vec{C}} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}_A + \vec{F}_A
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Cada componente nos da una ecuación
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{llr}
| |
| (X): & F_A = a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta +a\dot{\theta}^2\cos\theta
| |
| -\dfrac{k}{m}(v_0t-d) & (4)
| |
| \\
| |
| &&\\
| |
| (Y): & N = mg + m(a\ddot{\theta}\cos\theta -
| |
| a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta) & (5)
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El T.M.C. nos da la ecuación de movimiento para <math>\theta</math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \ddot{\theta}
| |
| =
| |
| -\dfrac{mga}{I+ma^2}\cos\theta
| |
| \qquad (6)
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Puede sustituirse el valor <math>\ddot{\theta}</math> dado por (6) en la
| |
| ecuación (4)
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica Vectorial del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
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