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= Enunciado =
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Una masa m está conectada a un muelle de constante elástica k
y longitud natural nula. La masa puede deslizarse por un plano
inclinado como se indica en la figura. El muelle se mantiene siem-
pre paralelo a la superficie del plano inclinado. La gravedad actúa
como se indica en el dibujo.
#Si el contacto entre la masa y el plano es liso, ¿para que valor de x la masa está en equilibrio?
#Teniendo en cuenta ahora el rozamiento y suponiendo que <math>mg=\sqrt{2}kL</math>, ¿cuál es el rango de posiciones de equilibrio?


= Solución =
== Fuerzas sobre la masa ==
[[File:F1GIC-masa-plano-muelle-fuerzas.png|right|200px]]
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa: su peso, la fuerza del muelle, la normal del plano y la fuerza de rozamiento. El sentido de todas es conocido, salvo la de rozamiento. La expresión de estas fuerzas es
<center><math>
\begin{array}{l}
\vec{P} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\imath} -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_k = -k\overrightarrow{OA} = -kx\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{N} = N\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{F}_R = f\,\vec{\imath}.
\end{array}
</math></center>
Como el vínculo impuesto por el plano inclinado es bilateral debe cumplirse <math>N>0</math>.
== Equilibrio sin rozamiento ==
Si suponemos que no hay rozamiento la condición de equilibrio es
<center><math>
\vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclcl}
X) & \to & \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg - kx = 0 & \to & x = \dfrac{mg}{\sqrt{2}k},\\
\\
Y) & \to & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg + N = 0 & \to & N = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg.
\end{array}
\right.
</math></center>
== Equilibrio con rozamiento ==
Si suponemos que ahora hay rozamiento, y ademas imponemos que <math>mg=\sqrt{2}kL</math>, la condición de equilibrio es
<center><math>
\vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lcl}
X) & \to & kL - kx + f = 0,,
\\
Y) & \to & -kL + N = 0.
\end{array}
\right.
</math></center>
De la primera expresión obtenemos que, para que haya equilibrio, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal del plano deben valer
<center><math>
\vec{N} = kL\,\vec{\jmath},
\qquad\qquad
\vec{F}_R = k(x-L)\,\vec{\imath}.
</math></center>
Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que el valor máximo posible
<center><math>
|\vec{F}_R| \leq \mu |\vec{N}|,
</math></center>
siendo <math>\mu</math> el coeficiente de rozamiento estático. Hemos de considerar dos situaciones
<math>x>L</math>
En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es
<center><math>
|\vec{F}_R| = k|x-L| = k(x-L) \leq \mu kL
\Longrightarrow
x\leq L\,(1+\mu).
</math></center>
<math>x<L</math>
En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es
<center><math>
|\vec{F}_R| = k|x-L| = k(L-x) \leq \mu kL
\Longrightarrow
x\geq L\,(1-\mu).
</math></center>
Por tanto, para que el equilibrio sea posible debe ocurrir
<center><math>
x\in [L(1-\mu), \, L(1+\mu)].
</math></center>
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Revisión actual - 09:54 3 nov 2023

Enunciado

Una masa m está conectada a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula. La masa puede deslizarse por un plano inclinado como se indica en la figura. El muelle se mantiene siem- pre paralelo a la superficie del plano inclinado. La gravedad actúa como se indica en el dibujo.

  1. Si el contacto entre la masa y el plano es liso, ¿para que valor de x la masa está en equilibrio?
  2. Teniendo en cuenta ahora el rozamiento y suponiendo que , ¿cuál es el rango de posiciones de equilibrio?

Solución

Fuerzas sobre la masa

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa: su peso, la fuerza del muelle, la normal del plano y la fuerza de rozamiento. El sentido de todas es conocido, salvo la de rozamiento. La expresión de estas fuerzas es

Como el vínculo impuesto por el plano inclinado es bilateral debe cumplirse .

Equilibrio sin rozamiento

Si suponemos que no hay rozamiento la condición de equilibrio es

Equilibrio con rozamiento

Si suponemos que ahora hay rozamiento, y ademas imponemos que , la condición de equilibrio es

De la primera expresión obtenemos que, para que haya equilibrio, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal del plano deben valer

Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que el valor máximo posible

siendo el coeficiente de rozamiento estático. Hemos de considerar dos situaciones

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es

En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es

Por tanto, para que el equilibrio sea posible debe ocurrir

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