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| = Enunciado =
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| [[Archivo:F!GIC-masa-cuerda-muelle-enunicado.png|right|250px]]
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| Una partícula de masa <math>m</math> cuelga de una cuerda de longitud <math>L</math> y un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula, como se indica en la figura. El punto <math>B</math> de anclaje del muelle está a una distancia <math>L</math> del origen. Supondremos que la cuerda está tensa en todo momento.
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| #Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa <math>m</math> y el punto <math>A</math>. Muestra correctamente la dirección y sentido de todas las fuerzas.
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| # Escribe la expresión del vector <math>\overrightarrow{BA}</math>
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| #Suponiendo que <math>mg = kL</math>, ¿cuál es el valor de <math>\alpha</math> para el que hay equilibrio mecánico?
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| #Para la situación de la pregunta anterior, ¿cuánto vale la tensión en la cuerda que une los puntos <math>O</math> y <math>A</math>?
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| = Solución =
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| == Diagrama de fuerzas ==
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| [[Archivo:F1GIC-masa-cuerda-muelle-fuerzas.png|right]]
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| La figura muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y el punto <math>A</math>. La fuerzas sobre la masa son su peso y la fuerza del trozo de cuerda entre ella y el punto <math>A</math>. Sobre el punto <math>A</math> actúan la fuerza que ejerce el trozo de cuerda debajo de él, la que ejerce el trozo entre <math>O</math> y <math>A</math> y la del muelle.
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| == Expresión del vector <math>\overrightarrow{BA}</math> ==
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| Este vector puede escribirse como
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}.
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| </math>
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| </center>
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| Estos dos vectores son
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \overrightarrow{OA} = L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}, \\
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| \overrightarrow{OB} = L\,\vec{\jmath}.
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Entonces
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| <center>
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| <math>
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| \overrightarrow{BA} = L\cos\alpha\,\vec{\imath} + L\,(\,\mathrm{sen}\,\alpha - 1)\,\vec{\jmath}.
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| </math>
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| </center>
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| == Posición de equilibrio ==
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| Escribimos las fuerzas del diagrama en el sistema de ejes de la figura. Sobre la masa <math>m</math> tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{P}_m = mg\,\vec{\imath},\\
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| \vec{T}_m = -T_m\,\vec{\imath}.
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Sobre el punto <math>A</math> tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{T}_A = - \vec{T}_m = T_m\,\vec{\imath},\\
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| \vec{T}_O = -T_O\cos\alpha\,\vec{\imath} - T_O\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{F}_k = -k\overrightarrow{BA} = -kL\cos\alpha\,\vec{\imath} - kL\,(\,\mathrm{sen}\,\alpha -1 )\,\vec{\jmath}.
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Aplicamos la condición de equilibrio a cada cuerpo. Para la masa
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| <center>
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| <math>
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| \vec{P}_m + \vec{T}_m = \vec{0}
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| \Longrightarrow
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| T_m = mg. \qquad\qquad (1)
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| </math>
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| </center>
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| Para el punto <math>A</math>
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| <center>
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| <math>
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| \vec{T}_A + \vec{T}_O + \vec{F}_k = \vec{0}
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| \Longrightarrow
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| \left\{
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| \begin{array}{lclr}
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| X) & \to & T_m - T_O\cos\alpha - kL\cos\alpha = 0, & (2)\\
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| Y) & \to & - T_O\,\mathrm{sen}\,\alpha - kL\,(\mathrm{sen}\,\alpha -1) = 0.& (3)
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| \end{array}
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| \right.
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| </math>
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| </center>
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| Usando la condición dada por el enunciado, <math>mg=kL</math>, y la ecuación (1), las ecuaciones (2) y (3) quedan
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{lcl}
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| (2) & \to &kL = (T_O+kL)\cos\alpha,\\
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| (3) & \to &kL = (T_O+kL)\,\mathrm{sen}\,\alpha.
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| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Dividiendo estas dos ecuaciones tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \tan\alpha = 1
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| \Longrightarrow
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| \alpha = \pi/4.
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| </math>
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| </center>
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| Ahora sustituimos en (3) para obtener la tensión de la cuerda <math>T_O</math>
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| <center>
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| <math>
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| T_O = kL\,(\sqrt{2}-1).
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Dinámica del punto material|1]]
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| [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula]]
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| [[Categoría:Problemas de examen]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
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