(Página creada con «= Enunciado = right Un bloque rectangular, de masa <math>m</math> y lados <math>2a</math> y <math>4a</math>, descansa sobre un plano inclinado un ángulo <math>\beta</math> respecto de la horizontal. Se aplica sobre el punto <math>A</math> del bloque una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>. La fuerza es horizontal al plano inclinado y el punto <math>A</math> está a una distancia <m…»)
 
(Página creada con «= Enunciado = Una cuerda de longitud <math>L=35.0\,\mathrm{m}</math> tiene una densidad de masa lineal <math>\mu = 0.0850\,\mathrm{g/cm}</math> y soporta una tensión <math>F_T=18.0\,\mathrm{N}</math>. Se excita un onda estacionaria en la cuerda. Calcula las frecuencias de los dos primeros armónicos cuando #Los dos extremos están fijos. #Un extremo está fijo y el otro está libre. = Solución = == Los dos extremos fijos == En esta situación las longitudes de o…»)
 
Línea 1: Línea 1:
= Enunciado =
= Enunciado =
[[Imagen:F1GIC_VuelcoPlanoInclinado_enunciado.png|right]]
Una cuerda de longitud <math>L=35.0\,\mathrm{m}</math> tiene una densidad de masa lineal
Un bloque rectangular, de masa <math>m</math> y lados <math>2a</math> y <math>4a</math>, descansa sobre
<math>\mu = 0.0850\,\mathrm{g/cm}</math> y soporta una tensión <math>F_T=18.0\,\mathrm{N}</math>.
un plano inclinado un ángulo <math>\beta</math> respecto de la horizontal. Se aplica
Se excita un onda estacionaria en la cuerda.
sobre el punto <math>A</math> del bloque una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>. La fuerza es horizontal al plano inclinado y el punto <math>A</math> está a una
Calcula las frecuencias de los dos primeros armónicos cuando
distancia <math>h</math> del plano. Consideramos en primera instancia que el contacto
#Los dos extremos están fijos.
entre el bloque y el plano es liso. El ángulo <math>\beta</math> cumple
#Un extremo está fijo y el otro está libre.
<center>
<math>
\mathrm{sen}\, \beta = \dfrac{3}{5}, \qquad \cos\beta = \dfrac{4}{5}.
</math>
</center>
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre del bloque.  
#Encuentra el valor de <math>F_0</math> para que haya equilibrio. Encuentra las expresiones de las fuerzas en esta situación.
#Con las fuerzas obtenidas en el apartado anterior, encuentra las condiciones que debe cumplir <math>h</math> para que el bloque no vuelque hacia la izquierda ni la derecha.
#Considera ahora que hay rozamiento entre el bloque y el plano inclinado, con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Supongamos que <math>F_0=mg</math>. Determina las condiciones que deben cumplir <math>\mu</math> y <math>h</math> para que haya equilibrio frente a deslizamiento y vuelco.


= Solución =
= Solución =


== Diagrama de cuerpo libre ==
== Los dos extremos fijos ==
[[Imagen:F1GIC_VuelcoPlanoInclinado_FuerzasLiso.png|right]]
En esta situación las longitudes de onda de los modos posibles de oscilación tienen que ser tales que los dos extremos de la cuerda correspondan a nodos. Como dos nodos están separados por la mitad de la longitud de onda de las ondas que interfieren para producir la onda estacionaria, la distancia entre los extremos de la cuerda, <math>L</math> debe ser un múltiplo de la mitad de la longitud de onda
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: la fuerza aplicada <math>\vec{F}</math> en el punto <math>A</math>, el peso en el centro de masas <math>G</math> y la fuerza vincular normal ejercida por el plano <math>\vec{N}</math>. Esta fuerza es en realidad la resultante de todas las fuerzas que ejerce el plano sobre el bloque en los puntos de su base. '''No sabemos donde se sitúa esta resultante a priori'''. Estas fuerzas se ajustan para intentar que el bloque no vuelque. Llamamos <math>D</math> al punto donde se aplica la resultante y <math>\delta</math> a la distancia entre las rectas soporte de <math>\vec{N}</math> y <math>\vec{P}</math>. Este valor es una incógnita del problema. Las fuerzas pueden expresarse así en el sistema de ejes de la figura
<center>
<center>
<math>
<math>
\begin{array}{l}
L = n\,\dfrac{\lambda_n}{2}\qquad\qquad n=1,2,3\ldots
\vec{F} = F_0\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{P} = -mg\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath}  - mg\cos\beta\,\vec{\jmath} =
-\dfrac{3}{5}mg\,\vec{\imath}  - \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{N} = N\,\vec{\jmath}.
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
 
Para cada modo, la relación entre frecuencia y longitud de onda es
== Valor de <math>F_0</math> en equilibrio ==
La primera condición de equilibrio es que la fuerza neta sobre el bloque sea cero
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{F} + \vec{P} + \vec{N} = \vec{0}
f_n\lambda_n = v,
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & F_0 - \dfrac{3}{5}mg = 0 & (1)\\
&&&\\
Y) & \to & N - \dfrac{4}{5}mg = 0 & (2)
\end{array}
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
De aquí obtenemos
siendo <math>v</math> la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Entonces
<center>
<center>
<math>
<math>
F_0 = \dfrac{3}{5}mg
L = n\,\dfrac{v}{2f_n}
\Longrightarrow
f_n = n\,\dfrac{v}{2L}\qquad\qquad n=1,2,3\ldots
</math>
</math>
</center>
</center>
Las expresiones de las fuerzas son
La velocidad de propagación es
<center>
<center>
<math>
<math>
\begin{array}{l}
v = \sqrt{\dfrac{F_T}{\mu}} = 46.0\,\mathrm{m/s}
\vec{F} = \dfrac{3}{5}mg\,\vec{\imath},\\
\\
\vec{P} = -\dfrac{3}{5}mg\,\vec{\imath} - \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath},\\
\\
\vec{N} = \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath}.
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
 
Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son
== Análisis del vuelco ==
La otra condición de equilibrio es que el momento neto de las fuerzas que actúan sobre el bloque sea nulo respecto de cualquier punto. Si calculamos los momentos respecto a <math>G</math> el peso no ejerce momento, y tenemos
<center>
<math>
\vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F} +\overrightarrow{GD}\times\vec{N}
</math>
</center>
Los vectores geométricos son
<center>
<center>
<math>
<math>
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
\overrightarrow{GA} = -a\,\vec{\imath} + (h-2a)\,\vec{\jmath},\\
f_1 = \dfrac{v}{2L} = 0.657\,\mathrm{Hz}
\\
\\ \\
\overrightarrow{GD} = \delta\,\vec{\imath} - 2a\,\vec{\jmath}.
f_2 = 2\dfrac{v}{2L} = 1.31\,\mathrm{Hz}
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
Entonces el momento neto buscado  es
En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.
<center>
<math>
\vec{M}_G = (-\dfrac{3}{5}mg(h-2a) + \dfrac{4}{5}mg\delta)\,\vec{k} = \vec{0}. \quad (3)
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\delta = \dfrac{3}{4}\,(h-2a).
</math>
</center>
La situación de vuelco inminente hacia la izquierda ocurre cuando el punto <math>D</math> coincide con el <math>B</math>, esto es, <math>\delta=-a</math>. Entonces, para que no vuelque hacia la izquierda debe ocurrir
<center>
<math>
\delta \geq -a
\Longrightarrow
h\geq \dfrac{2}{3}a.
</math>
</center>
La situación de vuelco inminente hacia la derecha ocurre cuando el punto <math>D</math> coincide con el <math>C</math>, esto es, <math>\delta=+a</math>. Entonces, para que no vuelque hacia la derecha debe ocurrir
<center>
<math>
\delta \leq a
\Longrightarrow
h\leq \dfrac{10}{3}a.
</math>
</center>
Es decir, para que el bloque no vuelque debe ocurrir
<center>
<math>
\dfrac{2}{3}a \leq h \leq \dfrac{10}{3}a
</math>
</center>


== Equilibrio con rozamiento ==
== Un extremo fijo y uno libre ==
[[Imagen:F1GIC_VuelcoPlanoInclinado_FuerzasRozamiento.png|right]]
Ahora el extremo fijo debe ser un nodo y el libre un antinodo. La distancia entre un nodo y vientre consecutivos es un cuarto de la longitud de onda de las ondas que interfieren. Por tanto debe cumplirse
Ahora tenemos que incluir la fuerza de rozamiento en el diagrama de cuerpo libre, como se indica en la figura. Esta fuerza es la resultante de todas las fuerzas de rozamiento en los puntos de contacto entre el bloque y el plano inclinado. Es un vector deslizante cuya recta soporte es la que pasa por los puntos <math>B</math> y <math>C</math>. Su expresión es
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{F}_R = f\,\vec{\imath}.
L = n\,\dfrac{\lambda_n}{4}\qquad\qquad n=1,3,5\ldots
</math>
</math>
</center>
</center>
No conocemos el sentido a priori, es decir, no conocemos el signo de <math>f</math> a priori.
Las frecuencias correspondientes son
 
Aplicamos las condiciones de equilibrio como antes. Aplicamos que en este caso <math>F_0=mg</math>, como dice el enunciado.
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{F} + \vec{P} + \vec{N} + \vec{F}_R = \vec{0}
f_n = n\,\dfrac{v}{4L}\qquad\qquad n=1,3,5\ldots
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & mg - \dfrac{3}{5}mg + f = 0 & (4)\\
&&&\\
Y) & \to & N - \dfrac{4}{5}mg = 0 & (5)
\end{array}
\right.
</math>
</math>
</center>
</center>
Obtenemos entonces
Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son
<center>
<center>
<math>
<math>
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
\vec{F}_R = -\dfrac{2}{5}mg\,\vec{\imath},\\
f_1 = \dfrac{v}{4L} = 0.329\,\mathrm{Hz}
\\
\\ \\
\vec{N} = \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath}.
f_3 = 3\dfrac{v}{4L} = 0.986\,\mathrm{Hz}
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
</center>
</center>
La fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda con estos valores.
Ahora las frecuencias de los armónicos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental.
 
En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.
Volvemos a calcular el momento neto de las fuerzas respecto de <math>G</math>
<center>
<math>
\vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F} +\overrightarrow{GD}\times\vec{N} +
\overrightarrow{GE}\times\vec{F}_R
</math>
</center>
Como la fuerza de rozamiento es un vector deslizante la podemos aplicar en cualquier punto de la base del bloque. El momento neto es
<center>
<math>
\vec{M}_G = (-mg(h-2a) + \dfrac{4}{5}mg\delta -\dfrac{4}{5}mga)\,\vec{k} = \vec{0}. \quad (6)
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
\delta = \dfrac{5h-6a}{4}
</math>
</center>
=== Equilibrio frente a deslizamiento ===
Para que el bloque no deslice debe ocurrir
<center>
<math>
|\vec{F}_R| \leq \mu |\vec{N}|
\Longrightarrow
\dfrac{2}{5}mg \leq \mu \dfrac{4}{5}mg
\Longrightarrow
\mu\geq 1/2.
</math>
</center>
 
=== Equilibrio frente a vuelco ===
Para que no vuelque hacia la izquierda debe cumplirse
<center>
<math>
\delta \geq -a \Longrightarrow h\geq \dfrac{2}{5}a.
</math>
</center>
Para que no vuelque hacia la derecha
<center>
<math>
\delta \leq a \Longrightarrow h\leq 2a.
</math>
</center>
La condición para que no vuelque es
<center>
<math>
\dfrac{2}{5}a \leq h \leq 2a.
</math>
</center>


== Errores comunes detectados en la corrección ==
#Mucha gente puso la fuerza normal directamente en el punto <math>E</math>. Ya hemos explicado que eso no es correcto. La normal se sitúa para intentar evitar el vuelco. La posición de su recta soporte es una incógnita.


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Revisión actual - 09:49 3 nov 2023

Enunciado

Una cuerda de longitud tiene una densidad de masa lineal y soporta una tensión . Se excita un onda estacionaria en la cuerda. Calcula las frecuencias de los dos primeros armónicos cuando

  1. Los dos extremos están fijos.
  2. Un extremo está fijo y el otro está libre.

Solución

Los dos extremos fijos

En esta situación las longitudes de onda de los modos posibles de oscilación tienen que ser tales que los dos extremos de la cuerda correspondan a nodos. Como dos nodos están separados por la mitad de la longitud de onda de las ondas que interfieren para producir la onda estacionaria, la distancia entre los extremos de la cuerda, debe ser un múltiplo de la mitad de la longitud de onda

Para cada modo, la relación entre frecuencia y longitud de onda es

siendo la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Entonces

La velocidad de propagación es

Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son

En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.

Un extremo fijo y uno libre

Ahora el extremo fijo debe ser un nodo y el libre un antinodo. La distancia entre un nodo y vientre consecutivos es un cuarto de la longitud de onda de las ondas que interfieren. Por tanto debe cumplirse

Las frecuencias correspondientes son

Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son

Ahora las frecuencias de los armónicos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental. En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.