Características cinemáticas de una partícula en movimiento, Septiembre 2016 (F1 G.I.C.)

Enunciado

Una masa $m$ se dirige hacia una masa $M$ en reposo con velocidad de módulo $v_{0}$, como se indica en la figura. La masa $M$ se encuentra conectada a un resorte ideal de constante elástica $k$ y longitud natural $l_{0}$, anclado en el punto $O$. Antes de la colisión el muelle está relajado. El contacto con el suelo es liso en todo momento.

1. Suponiendo que la colisión transcurre durante un tiempo $\Delta t$ muy pequeño, y que es completamente inelástica, determina la velocidad de las dos masas justo después de la colisión. Calcula también la fuerza media ejercida sobre la masa $M$ durante la colisión.
2. Supongamos a partir de ahora que las dos masas son iguales $M=m=m_{0}$. ¿Cuál es el valor mínimo de $v_{0}$ para que las dos masas llegen hasta el eje $OY$?
3. Determina el vector de posición, la velocidad y la aceleración del conjunto formado por las dos masas para un instante de tiempo arbitrario después de la colisión.

Solución

Colisión

El muelle no interviene en la colisión, pues al tener esta una duración temporal muy corta, no le da tiempo a comprimirse. La colisión es completamente inelástica. Sólo se conserva la cantidad de movimiento total del sistema. Y además sabemos que las dos masas quedan pegadas y tienen la misma velociad después del choque. La cantidad de movimiento antes del choque es

${\vec {P}}=m{\vec {v}}_{0}$

y después

${\vec {P}}=(m+M)\,{\vec {v}}{\,'}$

Por tanto

${\vec {v}}^{\,'}={\dfrac {m}{m+M}}\,{\vec {v}}_{0}=-{\dfrac {m}{m+M}}\,v_{0}\,{\vec {\imath }}$

La fuerza media sobre la masa $M$ se obtiene de la variación de su cantidad de movimiento. Tenemos

$\Delta {\vec {p}}_{M}={\vec {F}}_{m\to M}\Delta t$

y por otro lado

$\Delta {\vec {p}}_{M}=M{\vec {v}}^{\,'}-{\vec {0}}=-{\dfrac {mM}{m+M}}\,v_{0}\,{\vec {\imath }}$

Entonces

${\vec {F}}_{m\to M}=-{\dfrac {mM}{m+M}}\,{\dfrac {v_{0}}{\Delta t}}\,{\vec {\imath }}$

Condición para que lleguen al eje $OY$

Como no hay rozamiento, la energía mecánica se conserva. La energía potencial gravitatoria no cambia. La condición mínima es que las masas lleguen al punto $O$ con velocidad nula. Entonces la energía cinética justo después de la colisión debe ser igual a la energía potencial elástica en el punto $O$

${\dfrac {1}{2}}(2m_{0})(v')^{2}\geq {\dfrac {1}{2}}kl_{0}^{2}\Longrightarrow |v'|\geq {\sqrt {{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {kl_{0}^{2}}{m_{0}}}}}\Longrightarrow v_{0}\geq {\sqrt {\dfrac {2kl_{0}^{2}}{m_{0}}}}$

Movimiento después de la colisión

Después de la colisión las masas realizan un movimiento oscilatorio uniforme. El movimiento es unidimensional sobre el eje $OX$. La reacción vincular de la superficie equilibra en todo momento el peso de las masas. De este modo, la ecuación de movimiento es

$(m+M){\vec {a}}=-k(x-l_{0})\,{\vec {\imath }}\Longrightarrow {\ddot {x}}=-{\dfrac {k}{m+M}}\,x+{\dfrac {k}{m+M}}l_{0}$

Describimos el movimiento respecto de la posición de equilibrio $x_{eq}=l_{0}$. Definimos $s(t)$ de modo que

$x(t)=l_{0}+s(t)$

Sustituyendo en la ecuación de movimiento obtenemos la ecuación del MAS

${\ddot {s}}=-{\dfrac {k}{m+M}}\,s$

Las soluciones pueden escribirse de la forma

$s(t)=A\cos(\omega t)+B\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

con la frecuencia angular

$\omega ={\sqrt {\dfrac {k}{m+M}}}\Longrightarrow T={\dfrac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\dfrac {m+M}{k}}}$

siendo $T$ el período de oscilación.

Las condiciones iniciales del movimiento son

$s(0)=0,\qquad {\dot {s}}=v'=-{\dfrac {m}{m+M}}\,v_{0}$

A partir de la solución propuesta y su derivada obtenemos dos ecuaciones para $A$ y $B$

${\begin{array}{l}s(0)=A=0\\\\{\dot {s}}(0)=B\omega =-{\dfrac {m}{m+M}}v_{0}\Longrightarrow B=-{\dfrac {mv_{0}}{\omega (m+M)}}\end{array}}$

Por lo tanto

$s(t)=-{\dfrac {mv_{0}}{\omega (m+M)}}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

y

$x(t)=l_{0}-{\dfrac {mv_{0}}{\omega (m+M)}}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$