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| == Enunciado ==
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| [[Imagen:F1GIC_barras_articuladas_enunciado.png|right]]
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| La barra <math>OA</math> tiene longitud <math>L</math> y esta articulada en el punto <math>O</math>. La barra <math>AC</math> está articulada en <math>A</math> y tiene longitud <math>2L</math>. Además tiene un pasador en su punto medio <math>B</math>, de modo que esté punto está siempre sobre el eje <math>OX</math>. La barra <math>OA</math> gira de modo que el ángulo <math>\theta(t)</math> es una función del tiempo.
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| #Determina los vectores de posición de los puntos <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>
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| #Si el punto <math>B</math> se mueve con velocidad uniforme <math>\vec{v}_B=v_0\,\vec{\imath}</math>, determina la función <math>\theta(t)</math> si <math>\theta(0)=\pi/2</math>.
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| #Supón ahora que el ángulo varía como <math>\theta(t) = \omega_0t</math>, con <math>\omega_0</math> constante. En estas condiciones, calcula la velocidad y aceleración del punto <math>C</math>, así como su aceleración tangencial.
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| == Solución ==
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| === Vectores de posición ===
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| [[Imagen:F1GIC_barras_articuladas_angulos.png|right]]
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| Observando la figura tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \overrightarrow{OA} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
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| \\ \\
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| \overrightarrow{OB} = 2L\cos\theta\,\vec{\imath}
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| \\ \\
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| \overrightarrow{BC} = L\cos\theta\,\vec{\imath} - L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
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| \\ \\
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| \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}
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| = 3L\cos\theta\,\vec{\imath} - L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| === El punto <math>B </math> se mueve con velocidad uniforme ===
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| La velocidad del punto <math>B </math> es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}_B = \dot{\overrightarrow{OB}} = -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}
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| </math>
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| </center>
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| Según el enunciado tenemos
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| <center>
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| <math>
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| -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = v_0
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| </math>
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| </center>
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| Esto es una ecuación diferencial para <math>\theta(t) </math> que podemos resolver fácilmente, pues es de variables separables. Podemos escribir la expresión como
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| <center>
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| <math>
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| -2L\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{sen}\,\theta = v_0
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| \Longrightarrow
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| \mathrm{sen}\,\theta\mathrm{d}\theta = -\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
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| </math>
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| </center>
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| Integramos, imponiendo la condición inicial en los límites de intagración
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| <center>
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| <math>
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| \int\limits_{\pi/2}^{\theta(t)}\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{d}\theta = -\int\limits_0^t\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
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| \Longrightarrow
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| \cos\theta(t) = \dfrac{v_0}{2L}\,t
| |
| </math>
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| </center>
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| Por tanto el ángulo como función del tiempo es
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| <center>
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| <math>
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| \theta(t) = \arccos\left(\dfrac{v_0}{2L}\,t\right)
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| </math>
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| </center>
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| === Movimiento con ángulo dado ===
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| Suponemos ahora que el ángulo varía en el tiempo como
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| <center>
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| <math>
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| \theta(t) = \omega_0t
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| </math>
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| </center>
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| con <math>\omega_0 </math> constante. Para calcular la velocidad del punto <math>C </math> volvemos al vector de posición obtenido en el primer apartado y lo derivamos en el tiempo
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}_C = \dot{\overrightarrow{OC}}
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| =
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| -3L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - L\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}
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| =
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| -L\omega_0(3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})
| |
| </math>
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| </center>
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| Aquí hemos usado que, con la ley dada, <math>\dot{\theta}=\omega_0 </math>.
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| Para calcular la aceleración derivamos otra vez
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| <center>
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| <math>
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| \vec{a}_C = \dot{\vec{v}}_C
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| =
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| -L\omega_0^2(3\cos\theta\,\vec{\imath} - \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath})
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| </math>
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| </center>
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| La forma más rápida de calcular la aceleración tangencial es derivando el módulo de la velocidad, pues se cumple
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| <center>
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| <math>
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| a_T = \dfrac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}
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| </math>
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| </center>
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| Para el punto <math>C </math>
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| <center>
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| <math>
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| |\vec{v}_C| = L\omega_0\,\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}
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| </math>
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| </center>
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| Por tanto
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| <center>
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| <math>
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| a_{CT} =
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| L\omega_0\dfrac{8\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}{\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}}
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| =
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| 8L\omega_0^2\dfrac{\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}{\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}}
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| </math>
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| </center>
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| con <math>\theta=\omega_0t </math>. Otra forma de hacer el mismo cálculo es
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| <center>
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| <math>
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| a_{CT} = \dfrac{\vec{a}_C\cdot\vec{v}_C}{|\vec{v}_C|}
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de cinemática del punto]]
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