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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[Imagen:F1GIC_BarraParAplicado_Enunciado01.png|right]]
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| En el sistema de la figura, la barra <math>\overline{OA}</math> (sólido "2") tiene masa <math>m</math> y longitud
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| <math>2L</math>. La barra está articulada en el punto fijo <math>O</math> de una barra vertical fija(sólido "1"). Se aplica un par <math>\vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}</math> sobre la barra "2". El sistema está sometido a la gravedad.
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| #¿Como debe ser el par aplicado para que el ángulo sea <math>\theta_1=\pi/6</math>?
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| #Ahora, manteniendo aplicado el par de la pregunta anterior, se apoya una barra homogénea "0", de masa <math>m</math> y longitud <math>2L</math>, como se indica en la figura. La barra "0" se mantiene siempre horizontal. Todos los contactos son lisos.
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| #¿Cuanto vale el ángulo de equilibrio en la nueva situación?
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| #Calcula el par vincular sobre la barra "0" originado por el vínculo en <math>B</math> es
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| = Solución =
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| == Par para mantener el equilibrio ==
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| [[Imagen:F1GIC_BarraParAplicado_Fuerzas01.png|right|300ppx]]
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| La imagen de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre del sólido "0". Hay una fuerza vincular en <math>O</math> con tres posibles componentes no nulas, pues el punto <math>O</math> está fijo. Las fuerzas y pares son
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
| |
| \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}\\
| |
| \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath} + O_z\,\vec{k}\\
| |
| \vec{\tau} = \tau_0\,\vec{k}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| La suma de fuerzas debe ser cero
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| <center>
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| <math>
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| \vec{P} + \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
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| \left\{
| |
| \begin{array}{lclr}
| |
| (X) & \to & O_x=0 & (1)\\
| |
| (Y) & \to & O_y=mg& (2)\\
| |
| (Z) & \to & O_z=0 & (3)
| |
| \end{array}
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| \right.
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| </math>
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| </center>
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| El momento neto respecto a <math>O</math> debe ser cero
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| <center>
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| <math>
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| \vec{M}_O = \vec{\tau} + \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P} = \vec{0}
| |
| </math>
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| </center>
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| El momento ejercido por el peso es
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| <center>
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| <math>
| |
| \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P} =
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| (L\,\mathrm{sen}\,\theta_1\,\vec{\imath} + L\cos\theta_1\,\vec{\jmath})\times(-mg\,\vec{\jmath})
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| =
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| -mgL\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}
| |
| </math>
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| </center>
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| La ecuación del momento nos da la ecuación
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| <center>
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| <math>
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| \tau_0 - mgL\,\mathrm{sen}\,\theta_1 = 0, \qquad\qquad (4)
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| </math>
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| </center>
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| De aquí obtenemos el valor del par
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\tau} = mgL\,\mathrm{sen}\,\theta_1 \,\vec{k} = \dfrac{1}{2}mgL\,\vec{k}
| |
| </math>
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| </center>
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| == Con barra horizontal aplicada ==
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| [[Imagen:F1GIC_BarraParAplicado_Fuerzas02.png|right|300ppx]]
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| La imagen de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de ambos sólidos. Hay una fuerza vincular en <math>O</math> sobre el "2" con tres posibles componentes no nulas, pues el punto <math>O</math> está fijo. En el punto <math>A</math> las fuerzas vinculares forman un par de acción reacción. En el punto <math>B</math> hay una fuerza vincular sobre "0" para impedir un desplazamiento que no sea en la dirección del eje <math>Y_1</math>. También hay un par vincular para que no haya rotación de la barra "0".
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| Las expresiones de fuerzas y pares sobre el sólido "2" son
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| Las fuerzas y pares son
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
| |
| \vec{P}_2 = -mg\,\vec{\jmath}\\
| |
| \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath} + O_z\,\vec{k}\\
| |
| \vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = -A_y\,\vec{\jmath} \\
| |
| \vec{\tau} = \tau_0\,\vec{k}
| |
| \end{array}
| |
| </math>
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| </center>
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| Sobre el sólido "0" tenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{P}_0 = -mg\,\vec{\jmath}\\
| |
| \vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = A_y\,\vec{\jmath} \\
| |
| \vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} = B_x\,\vec{\imath} + B_z\,\vec{k}\\
| |
| \vec{\Gamma}_{1\to0} = \Gamma\,\vec{k}
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Aplicamos la condiciones de equilibrio para cada sólido. Para el sólido "2"
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{P}_2 + \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} + \vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lclr}
| |
| (X) & \to & O_x=0 & (1)\\
| |
| (Y) & \to & O_y-A_y=mg& (2)\\
| |
| (Z) & \to & O_z=0 & (3)
| |
| \end{array}
| |
| \right.
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| </math>
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| </center>
| |
| El momento respecto a <math>O</math> debe ser cero
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{M}_O = \vec{\tau} + \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P}_2 + \overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \tau_0 - mgL\,\mathrm{sen}\,\theta -2A_yL\,\mathrm{sen}\,\theta = 0\, \qquad(4)
| |
| </math>
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| </center>
| |
| La fuerza neta sobre el sólido "0" debe ser cero
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| <center>
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| <math>
| |
| \vec{P}_0 + \vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} + \vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = \vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lclr}
| |
| (X) & \to & B_x=0 & (5)\\
| |
| (Y) & \to & A_y=mg& (6)\\
| |
| (Z) & \to & B_z=0 & (7)
| |
| \end{array}
| |
| \right.
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| </math>
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| </center>
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| Calculamos el momento neto respecto a <math>B</math>
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| <center>
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| <math>
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| \vec{M}_B = \overrightarrow{BG}_0\times\vec{P}_0 + \overrightarrow{BA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} + \vec{\Gamma}_{1\to0}=\vec{0}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
| |
| \overrightarrow{BG}_0\times\vec{P}_0 =
| |
| (L\,\vec{\imath})\times(-mg\,\vec{\jmath}) = -mgL\,\vec{k} \\
| |
| \overrightarrow{BA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} =
| |
| (2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath})\times(A_y\,\vec{\jmath})=
| |
| 2LA_y\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}
| |
| \end{array}
| |
| </math>
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| </center>
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| Entonces
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| <center>
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| <math>
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| \Gamma - mgL + 2LA_y\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. \qquad (8)
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| </math>
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| </center>
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| Tenemos 8 ecuaciones para 8 incógnitas, a saber <math>\{O_x, O_y, O_z, A_y, B_x, B_z, \Gamma, \theta\}</math>. Resolviendo tenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = 2mg\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = mg\,\vec{\jmath},\\
| |
| \vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} = \vec{0}\\
| |
| \\
| |
| \vec{\Gamma}_{1\to0} = \dfrac{2}{3}mgL\,\vec{k}\\
| |
| \mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{\tau_0}{3mgL} = \dfrac{1}{6}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría: Problemas de Estática]]
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| [[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
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