Masa conectada a dos muelles, Enero 2016 (F1 G.I.C.)

Enunciado

Una masa $m$ desliza sobre una superficie horizontal lisa. Está conectada a dos muelles de constante elástica $k$ y longitud natural nula anclados como se indica en la figura en los puntos $A$ y $B$. En el instante inicial la masa está en reposo y con $x(0)=d$. }

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la masa.
2. Encuentra la ecuación de movimiento del bloque.
3. Determina la posición del bloque y su velocidad en cada instante.
4. Calcula la energía mecánica del bloque y su momento cinético respecto de $O$ para todo instante de tiempo.

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa, a saber: su peso, la fuerza de ligadura del plano y las fuerzas de los muelles. No hay fuerza de rozamiento pues el contacto es liso. Expresamos estas fuerzas en la base cartesiana asociada a los ejes de la figura:

${\begin{array}{l}m{\vec {g}}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {N}}=N\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{A}=-k{\overrightarrow {AP}}=-k(x+d)\,{\vec {\imath }}-kd\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {F}}_{B}=-k{\overrightarrow {BP}}=-k(x-d)\,{\vec {\imath }}-kd\,{\vec {\jmath }}\\\\\end{array}}$

Hemos usado que las coordenadas de los puntos de anclaje de los muelles, y del punto $P$ de la masa son

$A(-d,-d)\,\qquad B(d,-d)\,\qquad P(x,0)$

Ecuación de movimiento

La ecuación de movimiento es la Segunda Ley de Newton

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{A}+{\vec {F}}_{B}$

Como el movimiento transcurre únicamente a lo largo del eje $OX$, tenemos

$m{\vec {a}}=m{\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}$

La Segunda Ley de Newton es una ecuación vectorial que se traduce en dos ecuaciones escalares, una por cada componente. Así

${\begin{array}{lcl}X&\to &m{\ddot {x}}=-k(x+d)-k(x-d)=-2kx\\\\Y&\to &0=-mg+N-kd-kd\end{array}}$

La segunda ecuación nos dice cuánto vale la fuerza de reacción vincular del plano, que se ajusta para que la partícula respete el vínculo, es decir, que no penetre en el plano

${\vec {N}}=(mg+2kd)\,{\vec {\jmath }}$

La primera es la ecuación de movimiento de la partícula

$m{\ddot {x}}=-2kx$

Es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico. Podemos escribirla

${\ddot {x}}=-\omega ^{2}x\qquad \omega ={\sqrt {\dfrac {2k}{m}}}$

Las soluciones representan oscilaciones periódicas con período

$T={\dfrac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\dfrac {m}{2k}}}$

Posición y velocidad de la masa

Nos dan las condiciones iniciales del movimiento

$x(0)=d,\qquad {\dot {x}}(0)=0$

Una manera de escribir la solución de la ecuación diferencial es

$x(t)=A\cos(\omega t)+B\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Derivamos una vez para obtener la velocidad

${\dot {x}}(t)=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)+B\omega \cos(\omega t)$

Y aplicamos las condiciones iniciales para obtener las constantes $A$ y $B$ para este movimiento particular

${\begin{array}{l}x(0)=d\to A=d\\\\{\dot {x}}(0)=0\to B=0\end{array}}$

Por tanto la posición y velocidad de la partícula viene dada por los vectores

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}=x(t)\,{\vec {\imath }}=d\cos(\omega t)\,{\vec {\imath }}\\\\{\vec {v}}_{P}={\dot {\overrightarrow {OP}}}={\dot {x}}(t)\,{\vec {\imath }}=-d\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,{\vec {\imath }}\end{array}}$

con

$\omega ={\sqrt {\dfrac {2k}{m}}}$

Energía mecánica y momento cinético respecto de $O$

De las fuerzas que actúan sólo la reacción del plano es no conservativa. Y ésta no hace trabajo, pues siempre es perpendicular a la velocidad. Entonces la energía mecánica se conserva. Podemos calcularla en el instante inicial. Como la altura de la partícula es siempre la misma, la energía potencial gravitatoria es siempre la misma y podemos escogerla como 0. Para la energía potencial elástica tenemos

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}k|{\overrightarrow {PA}}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}k|{\overrightarrow {PB}}|^{2}$

En el instante inicial

$|{\overrightarrow {PA}}|^{2}=d^{2}+(2d)^{2}=5d^{2}\,\qquad |{\overrightarrow {PB}}|^{2}=d^{2}$

Entonces la energía potencial elástica inicial es

$U_{k}(0)=3kd^{2}$

Como parte del reposo, la energía cinética inicial es cero. Por tanto, la energía mecánica en todo instante de tiempo es

$E_{m}(t)=E_{m}(0)=U_{k}(0)=3kd^{2}$

El momento cinético respecto a $O$ en cualquier instante de tiempo es

${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times (m{\vec {v}}_{P})$

Ahora bien, ${\overrightarrow {OP}}$ son siempre paralelos, por tanto

${\vec {L}}_{O}(t)={\vec {0}}$