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Partícula deslizando sobre una barra horizontal con dos muelles

Una partícula de masa ${\displaystyle m}$ desliza por una barra fija horizontal, como se indica en la figura. La masa está conectada a dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas ${\displaystyle k_{1}=3k}$ y ${\displaystyle k_{2}=k}$. El contacto entre la partícula y la barra es rugoso.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Encuentra las expresiones que dan las fuerzas que los muelles ejercen sobre la partícula.
2. Calcula las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en equilibrio estático.
3. Si el coeficiente de rozamiento estático es ${\displaystyle \mu }$, determina el rango de posibles posiciones de equilibrio.
4. Suponemos ahora que no hay rozamiento. Encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.
5. En el instante inicial la partícula se encuentra en el puno ${\displaystyle B}$ con velocidad ${\displaystyle v_{0}}$ dirigida hacia la derecha. Encuentra la expresión ${\displaystyle x(t)}$ que da la posición de la partícula en el tiempo.

Disco subiendo escalón

Un disco de radio ${\displaystyle R}$ y masa ${\displaystyle m}$ se apoya en un escalón de altura ${\displaystyle R/2}$ como se indica en la figura. El contacto en el punto ${\displaystyle A}$ es liso mientras que en el punto ${\displaystyle B}$ es rugoso con coeficiente de rozamiento estático ${\displaystyle \mu }$. Un fuerza ${\displaystyle {\vec {F}}=-F_{0}\,{\vec {\imath }}}$, con ${\displaystyle F_{0}>0}$, se aplica en el punto ${\displaystyle C}$. La gravedad actúa como se indica en la figura.

1. Determina el valor del ángulo ${\displaystyle \theta }$ mostrado en la figura, así como un vector unitario con la dirección y sentido del vector ${\displaystyle {\overrightarrow {AG}}}$.
2. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.
3. Encuentra la expresión de las fuerzas que actúan sobre el disco en condición de equilibrio estático. ¿Para que valor de ${\displaystyle h}$ cambia el sentido de la fuerza de rozamiento?
4. Suponiendo que ${\displaystyle h=3R/2}$, determina el valor mínimo de ${\displaystyle F_{0}}$ para que el disco suba el escalón.

Ondas sísmicas

Un terremoto produce dos tipos de onda, ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle S}$, que viajan con velocidades respectivas ${\displaystyle v_{S}=v_{0}}$ y ${\displaystyle v_{P}=2v_{0}}$. Un terremoto se produce en el epicentro ${\displaystyle A}$ y emite los dos tipos de ondas, cuyos frentes de onda se reproducen en la figura (las líneas continuas son las ondas ${\displaystyle P}$ y las punteadas las ondas ${\displaystyle S}$). Una estación sísmica se encuentra en el punto ${\displaystyle B}$. Las ondas llegan a ${\displaystyle B}$ con un intervalo de tiempo entre ellas ${\displaystyle \Delta t=T}$. Determina la distancia entre el epicentro y la estación sísmica