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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[File:F1GIC-masa-plano-muelle-enunciado.png|right|250px]]
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| Una masa m está conectada a un muelle de constante elástica k
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| y longitud natural nula. La masa puede deslizarse por un plano
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| inclinado como se indica en la figura. El muelle se mantiene siem-
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| pre paralelo a la superficie del plano inclinado. La gravedad actúa
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| como se indica en el dibujo.
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| #Si el contacto entre la masa y el plano es liso, ¿para que valor de x la masa está en equilibrio?
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| #Teniendo en cuenta ahora el rozamiento y suponiendo que <math>mg=\sqrt{2}kL</math>, ¿cuál es el rango de posiciones de equilibrio?
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| = Solución =
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| == Fuerzas sobre la masa ==
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| [[File:F1GIC-masa-plano-muelle-fuerzas.png|right|200px]]
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| La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa: su peso, la fuerza del muelle, la normal del plano y la fuerza de rozamiento. El sentido de todas es conocido, salvo la de rozamiento. La expresión de estas fuerzas es
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| <center><math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{P} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\imath} -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg\,\vec{\jmath},\\
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| \\
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| \vec{F}_k = -k\overrightarrow{OA} = -kx\,\vec{\imath},\\
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| \\
| |
| \vec{N} = N\,\vec{\jmath},\\
| |
| \\
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| \vec{F}_R = f\,\vec{\imath}.
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| \end{array}
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| </math></center>
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| Como el vínculo impuesto por el plano inclinado es bilateral debe cumplirse <math>N>0</math>.
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| == Equilibrio sin rozamiento ==
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| Si suponemos que no hay rozamiento la condición de equilibrio es
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| <center><math>
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| \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}=\vec{0}
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| \Longrightarrow
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| \left\{
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| \begin{array}{lclcl}
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| X) & \to & \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg - kx = 0 & \to & x = \dfrac{mg}{\sqrt{2}k},\\
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| \\
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| Y) & \to & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}mg + N = 0 & \to & N = \dfrac{1}{\sqrt{2}}mg.
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| \end{array}
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| \right.
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| </math></center>
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| == Equilibrio con rozamiento ==
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| Si suponemos que ahora hay rozamiento, y ademas imponemos que <math>mg=\sqrt{2}kL</math>, la condición de equilibrio es
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| <center><math>
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| \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R=\vec{0}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| X) & \to & kL - kx + f = 0,,
| |
| \\
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| Y) & \to & -kL + N = 0.
| |
| \end{array}
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| \right.
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| </math></center>
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| De la primera expresión obtenemos que, para que haya equilibrio, la fuerza de rozamiento y la fuerza normal del plano deben valer
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| <center><math>
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| \vec{N} = kL\,\vec{\jmath},
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| \qquad\qquad
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| \vec{F}_R = k(x-L)\,\vec{\imath}.
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| </math></center>
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| Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento debe ser menor que el valor máximo posible
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| <center><math>
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| |\vec{F}_R| \leq \mu |\vec{N}|,
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| </math></center>
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| siendo <math>\mu</math> el coeficiente de rozamiento estático. Hemos de considerar dos situaciones
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| <math>x>L</math>
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| En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es
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| <center><math>
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| |\vec{F}_R| = k|x-L| = k(x-L) \leq \mu kL
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| \Longrightarrow
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| x\leq L\,(1+\mu).
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| </math></center>
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| <math>x<L</math>
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| En este caso el módulo de la fuerza de rozamiento es
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| <center><math>
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| |\vec{F}_R| = k|x-L| = k(L-x) \leq \mu kL
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| \Longrightarrow
| |
| x\geq L\,(1-\mu).
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| </math></center>
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| Por tanto, para que el equilibrio sea posible debe ocurrir
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| <center><math>
| |
| x\in [L(1-\mu), \, L(1+\mu)].
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| </math></center>
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| [[Categoría:Dinámica del punto material|1]]
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| [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula]]
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| [[Categoría:Problemas de examen]]
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| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
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