Armónicos en una cuerda tensa (Ene. 2018 G.I.C.)

Dos partículas unidas por una barra

Las partículas $A$ y $B$, ambas con masa $m$, están unidas por una barra rígida de longitud $2L$ y masa despreciable. El punto $C$ es el punto medio de la barra. La partícula $A$ está obligada a moverse en el eje fijo $OX$, como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo $\theta (t)$ con el eje $OX$. La partícula $A$ se mueve con velocidad constante ${\vec {v}}_{0}=v_{0}\,{\vec {\imath }}$. En el instante inicial la partícula $A$ se encontraba en el punto $O$ y $\theta (0)=0$. El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

1. Encuentra la expresión de los vectores de posición ${\vec {r}}_{A}$, ${\vec {r}}_{B}$ y ${\vec {r}}_{C}$ en función de $v_{0}$, $L$, $\theta$ y $t$.
2. Si el ángulo varía como $\theta (t)={\dfrac {v_{0}}{L}}t$, calcula la velocidad y aceleración de las partículas $A$ y $B$ y del centro de masas del sistema.
3. El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal ${\vec {F}}_{A}$ aplicada sobre la partícula $A$. Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
4. Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de $O$ en el instante $t_{1}=\pi L/2v_{0}$.
5. Supongamos ahora que la partícula $B$ se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el $OX$ es constante e igual a $2v_{0}$. Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir $\theta (t)$ para que esto sea posible.

Barra articulada en pared con muelle

Una barra homogénea de masa $m$ y longitud $2L$ está apoyada en el suelo en un extremo (punto $A$). El otro extremo ($B$) está articulado en un eje vertical de modo que la barra puede rotar alrededor de $B$ y el punto $B$ puede deslizar sobre el eje. Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $L$ conecta el punto $B$ con el origen de coordenadas $O$. El muelle se mantiene vertical en todo momento. El contacto de la barra en $B$ es liso, mientras que es rugoso en $A$ con coeficiente estático de rozamiento $\mu$.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra, indicando para que fuerzas el sentido es conocido a priori y para cuales no. Razona la respuesta.
2. Escribe las expresiones de las fuerzas que actúan sobre la barra.
3. Suponiendo que $\beta =\pi /6$, calcula el valor de las fuerzas que actúan sobre la barra en situación de equilibrio estático.
4. Calcula la reducción vincular en el punto $G$ usando las fuerzas obtenidas en el apartado anterior.
5. ¿Qué condición debe cumplir $\mu$ para que la situación de equilibrio sea posible?