|
|
| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
| |
| [[Imagen:F1GCI_masa_rampa_muelle_enunciado.png|right]]
| |
| Un bloque de masa <math>M</math> está en reposo en lo alto de un plano inclinado. El bloque está enganchado a un muelle ideal de constante elástica <math>k </math> y longitud natural nula, anclado en el punto más alto del plano inclinado. El bloque comienza a deslizar por el plano inclinado como se indica en la figura. El muelle se mantiene siempre
| |
| horizontal al plano inclinado. El sistema está sometido a la acción de la
| |
| gravedad.
| |
| #Dibuja las fuerzas que actúan sobre el disco, indicando correctamente su dirección y sentido, con y sin rozamiento entre el disco y el plano.
| |
| # En el caso de que no haya rozamiento, determina el punto en que se para el bloque. ¿Que condición debe cumplir <math>k </math> para que lo haga antes de llegar al punto <math>A</math>?
| |
| #Repite el análisis del apartado anterior si hay un rozamiento entre el bloque y el plano, caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu </math>.
| |
|
| |
|
| = Solución =
| |
|
| |
| == Fuerzas sobre el bloque ==
| |
| [[Imagen:F1GCI_masa_rampa_muelle_fuerzas_liso.png|right]]
| |
| [[Imagen:F1GCI_masa_rampa_muelle_fuerzas_rozamiento.png|right]]
| |
|
| |
| Las figuras muestran las fuerzas que actúan sobre el bloque sin rozamiento (arriba ) y con rozamiento (abajo). En las dos situaciones tenemos el peso del bloque, la reacción vincular del plano y la fuerza del muelle. Cuando hay rozamiento se añade la fuerza de rozamiento, tangente al plano. En este caso sabemos que va dirigida hacia arriba, pues el bloque empieza a deslizar hacia abajo y la fuerza de rozamiento se opone al movimiento relativo entre las superficies.
| |
|
| |
| Las expresiones de las fuerzas son, en los ejes indicados en la figura
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{l}
| |
| \vec{P} = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} - Mg\cos\alpha\,\vec{\jmath}\\
| |
| \\
| |
| \vec{N} = N\,\vec{\jmath}\\
| |
| \\
| |
| \vec{F}_k = -ks\,\vec{\imath}\\
| |
| \\
| |
| \vec{F}_r = -F_r\,\vec{\imath}
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| == Movimiento sin rozamiento ==
| |
| Si no hay rozamiento sólo el peso y el muelle realizan trabajo. Como son conservativas, se conserva la energía mecánica.
| |
|
| |
| Para calcular la energía potencial gravitatoria escogemos como origen de potencial el punto más alto del plano. Entonces
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| U_g = -Mgs\,\mathrm{sen}\,\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la energía potencial elástica tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| U_k = \dfrac{1}{2}ks^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Como el bloque parte del reposo, en el instante inicial la energía mecánica es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| E = U_g(s=0) + U_k(s=0) = 0\,
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para una posición definida por el valor de <math>s </math> la energía mecánica es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dfrac{1}{2}M\dot{s}^2 - Mgs\,\mathrm{sen}\,\alpha + \dfrac{1}{2}ks^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Igualando las dos expresiones obtenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{s}^2 = 2gs\,\mathrm{sen}\,\alpha - \dfrac{k}{M}s^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para que el bloque se pare debe ocurrir <math>\dot{s}=0 </math>. Obtenemos dos valores de <math>s </math> para los que se cumple esto
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| s = s_1 = 0,
| |
| \qquad
| |
| s = s_2 = \dfrac{2Mg}{k}\,\mathrm{sen}\,\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El valor <math>s_1 </math> corresponde al instante inicial. El segundo es cuándo se para el bloque en la rampa. Para que se detenga antes del final de ésta debe ocurrir
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| s_2 \leq \dfrac{H}{\mathrm{sen}\,\alpha}
| |
| \Longrightarrow
| |
| k \geq \dfrac{2Mg}{H}\,\mathrm{sen}^2\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| == Movimiento con rozamiento ==
| |
| En este caso la fuerza de rozamiento, que no es conservativa, realiza trabajo. Entonces no se conserva la energía mecánica. Pero podemos calcular el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y aplicar
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta E = W_{roz}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Tenemos que determinar la fuerza de reacción vincular del plano para calcular el trabajo de rozamiento. Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del bloque
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| M\vec{a} = \vec{P} + \vec{N} + \vec{K}_k + \vec{F}_r
| |
| \Longrightarrow
| |
| \left\{
| |
| \begin{array}{lcl}
| |
| (X) & \to & M\ddot{s} = Mg\,\mathrm{sen}\,\alpha - ks - F_r\\
| |
| &&\\
| |
| (Y) & \to & 0 = N - Mg\cos\alpha
| |
| \end{array}
| |
| \right.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Entonces
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| N = M g\cos\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| En el régimen dinámico, la fuerza de rozamiento es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{F}_r = -\mu|\vec{N}|\,\vec{\imath} = -\mu Mg\cos\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en el desplazamiento es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| W_{roz} = \int\limits_0^s\vec{F}_r\cdot\mathrm{d}\vec{r} =
| |
| -\int\limits_0^s \mu Mg\cos\alpha \mathrm{d}x
| |
| =-\mu Mgs\cos\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Aplicado el balance de energía-trabajo tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta E = E(s) - E(0) = -\mu Mgs\cos\alpha
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Usando las expresiones anteriores de la energía mecánica tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{s}^2 = 2gs(\mathrm{sen}\alpha - \mu\cos\alpha) - \dfrac{k}{M}s^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El bloque se para en los puntos en que <math>\dot{s}=0 </math>. Eso nos da un ecuaicón que tiene dos soluciones
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| s = s_1 = 0,
| |
| \qquad
| |
| s = s_2 = \dfrac{2Mg}{k}\,(\mathrm{sen}\,\alpha-\mu\cos\alpha)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El primer valor corresponde al instante inicial. El segundo es donde se para el bloque. Para que se detenga antes del fin del plano debe ocurrir
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| s_2 \leq \dfrac{M}{\mathrm{sen}\,\alpha}
| |
| \Longrightarrow
| |
| k \geq \dfrac{2Mg}{H}\dfrac{\,(\mathrm{sen}\,\alpha-\mu\cos\alpha)}{\mathrm{sen}\,\alpha}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El valor mínimo de <math>k </math> es menor que en el apartado anterior, debido a la energía disipada por el rozamiento.
| |
|
| |
|
| |
| [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula|0]]
| |
| [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula]]
| |
| [[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
| |
