Colisión involucrando a tres partículas, Enero 2016 (F1 G.I.C.)

Enunciado

La barra $OA$ tiene longitud $L$ y esta articulada en el punto $O$. La barra $AC$ está articulada en $A$ y tiene longitud $2L$. Además tiene un pasador en su punto medio $B$, de modo que esté punto está siempre sobre el eje $OX$. La barra $OA$ gira de modo que el ángulo $\theta (t)$ es una función del tiempo.

1. Determina los vectores de posición de los puntos $A$, $B$, $C$
2. Si el punto $B$ se mueve con velocidad uniforme ${\vec {v}}_{B}=v_{0}\,{\vec {\imath }}$, determina la función $\theta (t)$ si $\theta (0)=\pi /2$.
3. Supón ahora que el ángulo varía como $\theta (t)=\omega _{0}t$, con $\omega _{0}$ constante. En estas condiciones, calcula la velocidad y aceleración del punto $C$, así como su aceleración tangencial.

Solución

Vectores de posición

Observando la figura tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}+L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}\\\\{\overrightarrow {OB}}=2L\cos \theta \,{\vec {\imath }}\\\\{\overrightarrow {BC}}=L\cos \theta \,{\vec {\imath }}-L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}\\\\{\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BC}}=3L\cos \theta \,{\vec {\imath }}-L\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

El punto $B$ se mueve con velocidad uniforme

La velocidad del punto $B$ es

${\vec {v}}_{B}={\dot {\overrightarrow {OB}}}=-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}$

Según el enunciado tenemos

$-2L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta =v_{0}$

Esto es una ecuación diferencial para $\theta (t)$ que podemos resolver fácilmente, pues es de variables separables. Podemos escribir la expresión como

$-2L{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {sen} \,\theta =v_{0}\Longrightarrow \mathrm {sen} \,\theta \mathrm {d} \theta =-{\dfrac {v_{0}}{2L}}\,\mathrm {d} t$

Integramos, imponiendo la condición inicial en los límites de intagración

$\int \limits _{\pi /2}^{\theta (t)}\mathrm {sen} \,\theta \mathrm {d} \theta =-\int \limits _{0}^{t}{\dfrac {v_{0}}{2L}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \cos \theta (t)={\dfrac {v_{0}}{2L}}\,t$

Por tanto el ángulo como función del tiempo es

$\theta (t)=\arccos \left({\dfrac {v_{0}}{2L}}\,t\right)$

Movimiento con ángulo dado

Suponemos ahora que el ángulo varía en el tiempo como

$\theta (t)=\omega _{0}t$

con $\omega _{0}$ constante. Para calcular la velocidad del punto $C$ volvemos al vector de posición obtenido en el primer apartado y lo derivamos en el tiempo

${\vec {v}}_{C}={\dot {\overrightarrow {OC}}}=-3L{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}-L{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}=-L\omega _{0}(3\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}+\cos \theta \,{\vec {\jmath }})$

Aquí hemos usado que, con la ley dada, ${\dot {\theta }}=\omega _{0}$. Para calcular la aceleración derivamos otra vez

${\vec {a}}_{C}={\dot {\vec {v}}}_{C}=-L\omega _{0}^{2}(3\cos \theta \,{\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }})$

La forma más rápida de calcular la aceleración tangencial es derivando el módulo de la velocidad, pues se cumple

$a_{T}={\dfrac {\mathrm {d} |{\vec {v}}|}{\mathrm {d} t}}$

Para el punto $C$

$|{\vec {v}}_{C}|=L\omega _{0}\,{\sqrt {1+8\,\mathrm {sen} ^{2}\,\theta }}$

Por tanto

$a_{CT}=L\omega _{0}{\dfrac {8{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta }{\sqrt {1+8\,\mathrm {sen} ^{2}\,\theta }}}=8L\omega _{0}^{2}{\dfrac {\mathrm {sen} \,\theta \cos \theta }{\sqrt {1+8\,\mathrm {sen} ^{2}\,\theta }}}$

con $\theta =\omega _{0}t$. Otra forma de hacer el mismo cálculo es

$a_{CT}={\dfrac {{\vec {a}}_{C}\cdot {\vec {v}}_{C}}{|{\vec {v}}_{C}|}}$