Fuerza unidireccional (GIA)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ está sometida a una fuerza constante ${\vec {F}}=(A+Bt)\,{\vec {\imath }}$. Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

Solución

Para determinar el movimiento de la partícula usamos la Segunda ley de Newton, que dice que una partícula de masa $m$ sometida a una fuerza ${\vec {F}}$ adquiere una aceleración

${\vec {a}}={\frac {1}{m}}{\vec {F}}$

Cálculo de la velocidad

El enunciado nos dice que la fuerza es ${\vec {F}}=(A+Bt)\,{\vec {\imath }}$, con $A$ y $B$ constantes. Así pues la aceleración de la partícula es

${\vec {a}}={\frac {1}{m}}(A+B\,t)\,{\vec {\imath }}$

La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad. Integrando tenemos

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} {\vec {u}}={\vec {a}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow {\vec {u}}(t)=\int {\vec {a}}\,\mathrm {d} t+{\vec {c}}$

El vector ${\vec {c}}$ es una constante que viene determinada por las condiciones iniciales. Introduciendo la expresión de la aceleración obtenemos

${\vec {u}}(t)={\vec {c}}+\int (A+B\,t)\,{\vec {\imath }}\mathrm {d} t={\vec {c}}+{\frac {1}{m}}\left(A\,t+{\frac {1}{2}}B\,t^{2}\right){\vec {\imath }}$

El enunciado dice que la partícula parte del reposo. Por tanto, en $t=0$ la velocidad es nula. Obtenemos

${\vec {u}}(0)={\vec {c}}={\vec {0}}$

Así pues la velocidad en cada instante es

${\vec {u}}(t)={\frac {1}{m}}\left(A\,t+{\frac {1}{2}}B\,t^{2}\right)\,{\vec {\imath }}$

La condición inicial puede incluirse de otra manera haciendo una integral definida y teniéndola en cuenta en los límites de integración. La ecuación \reff{eq:3} se reescribiría

$\mathrm {d} {\vec {u}}={\vec {a}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \limits _{{\vec {u}}(0)}^{{\vec {u}}(t)}\mathrm {d} {\vec {u}}=\int \limits _{0}^{t}{\vec {a}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow {\vec {u}}(t)={\vec {u}}(0)+{\frac {1}{m}}\left(A\,t+{\frac {1}{2}}B\,t^{2}\right)\,{\vec {\imath }}$

Aplicando de nuevo la condición inicial ${\vec {u}}(0)={\vec {0}}$ reobtenemos el resultado anterior.

Cálculo de la posición

La velocidad es la derivada del vector de posición en el tiempo. Procedemos igual que en el cálculo anterior y tenemos

${\vec {u}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {u}}\,\mathrm {d} t$

Usamos la integral definida con las condiciones iniciales incluidas en los límites de integración

$\int \limits _{{\vec {r}}(0)}^{{\vec {r}}(t)}\mathrm {d} {\vec {r}}=\int \limits _{0}^{t}{\vec {u}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow {\vec {r}}(t)={\vec {r}}(0)+\int _{0}^{t}{\vec {u}}\,\mathrm {d} t$

El enunciado dice que la partícula parte desde el origen des sistema de referencia, por lo que ${\vec {r}}(0)=\mathbf {(} 0)$. Utilizando la expresión de la velocidad obtenemos

${\vec {r}}(t)={\frac {1}{m}}\left({\frac {A}{2}}t^{2}+{\frac {B}{6}}t^{3}\right)\,{\vec {\imath }}$