Rodadura y deslizamiento de un disco

Enunciado

Un disco de radio $R$ y masa $M$ rueda y desliza sobre el plano horizontal $y=0$ de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma

${\vec {v}}_{A}=v_{A}{\vec {\imath }}\qquad {\vec {v}}_{B}=v_{B}{\vec {\imath }}$

1. Calcule la velocidad angular del disco.
2. Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
3. Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
4. Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
   1. $v_{A}=-v_{B}$
   2. $v_{A}=0$
   3. $v_{A}=v_{B}$

Introducción

Este es un movimiento sobre el plano XY y por tanto, el estudio de la cinemática se reduce a dos dimensiones. Para todos los puntos del disco se cumplirá que

${\vec {v}}=v_{x}{\vec {\imath }}+v_{y}{\vec {\jmath }}$

con $v_{x}$ y $v_{y}$ las componentes cartesianas de la velocidad (que serán dependientes de la posición). Asimismo, la velocidad angular será perpendicular al plano del movimiento y por tanto irá en la dirección del eje OZ

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

Esta velocidad angular es independiente de la posición (aunque variará en cada caso particular).

Al ser la velocidad angular ortogonal a las velocidades lineales, los movimientos posibles serán de reposo, traslación y rotación, pero nunca helicoidales.

Velocidad angular

Podemos hallar la velocidad angular a partir de la fórmula que relaciona las dos velocidades lineales

${\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A})$

En este caso particular

${\vec {r}}_{A}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {r}}_{B}=2R{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{A}=v_{A}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{B}=v_{B}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

lo que nos da

$v_{B}{\vec {\imath }}=v_{A}{\vec {\imath }}+(\omega {\vec {k}})\times (2R{\vec {\jmath }})=(v_{A}-2R\omega ){\vec {\imath }}$

y despejando de aquí

$v_{B}=v_{A}-2R\omega \qquad \Rightarrow \qquad \omega =-{\frac {v_{B}-v_{A}}{2R}}$

Dependiendo de las magnitudes relativas de las velocidades lineales, esta velocidad angular puede ser positiva, negativa o nula. Si A se mueve más rápidamente que B, el giro es antihorario respecto al plano XZ ($\omega <0$), si A se mueve más lento, el giro es horario. Si tienen la misma velocidad, no hay giro alguno.

Velocidades lineales

Una vez que tenemos la velocidad de un punto (de dos, de hecho) y la velocidad angular podemos hallar la velocidad de cualquier otro, empleando la fórmula

${\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{A})={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AP}}$

Centro del disco

Respecto del punto A, la posición del centro del disco es

${\overrightarrow {AC}}={\vec {r}}_{C}-{\vec {r}}_{A}=R{\vec {\jmath }}$

y obtenemos la velocidad del centro

${\vec {v}}_{C}=v_{A}{\vec {\imath }}+\left(-{\frac {v_{B}-v_{A}}{2R}}{\vec {k}}\right)\times (R{\vec {\jmath }})={\frac {v_{A}+v_{B}}{2}}{\vec {\imath }}$

El resultado es que el centro del disco se mueve con una velocidad que es la media aritmética de las de los puntos diametralmente opuestos.

Una vez que tenemos la velocidad del centro del disco, podemos hallar la velocidad de cualquier otro punto también empleando la fórmula correspondiente

${\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{C}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}_{P}-{\vec {r}}_{C})={\vec {v}}_{C}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {CP}}$

Diámetro horizontal

La posición del punto D respecto al centro del disco es

${\overrightarrow {CD}}=-R{\vec {\imath }}$

por lo que su velocidad lineal vale

${\vec {v}}_{D}=\left({\frac {v_{A}+v_{B}}{2}}\right){\vec {\imath }}+\left(-{\frac {v_{B}-v_{A}}{2R}}\right){\vec {k}}\times (-R{\vec {\imath }})=\left({\frac {v_{A}+v_{B}}{2}}\right){\vec {\imath }}+\left({\frac {v_{B}-v_{A}}{2}}\right){\vec {\jmath }}$

La ventaja de usar el punto C en vez del A como referencia es que el vector de posición relativo es un poco más simple, pero al mismo resultado se puede llegar empleando A en lugar de C.

Para el punto E, diametralmente opuesto al D, el cálculo es análogo

${\overrightarrow {CE}}=+R{\vec {\imath }}$

resultando la velocidad

${\vec {v}}_{E}=\left({\frac {v_{A}+v_{B}}{2}}\right){\vec {\imath }}+\left(-{\frac {v_{B}-v_{A}}{2R}}\right){\vec {k}}\times (+R{\vec {\imath }})=\left({\frac {v_{A}+v_{B}}{2}}\right){\vec {\imath }}-\left({\frac {v_{B}-v_{A}}{2}}\right){\vec {\jmath }}$

Estas dos velocidades tienen una componente horizontal de avance y una vertical que puede ser ascendente o descendente dependiendo de si la rapidez de A es mayor que la de B o viceversa.

Centro instantáneo de rotación

El centro instantáneo de rotación es un punto imaginario del sólido que tiene velocidad instantánea nula. Podemos localizarlo imponiendo que

${\vec {v}}_{0}={\vec {v}}_{I}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AI}}$

Si la posición del CIR respecto al punto A es

${\overrightarrow {AI}}=x_{I}{\vec {\imath }}+y_{I}{\vec {\jmath }}$

nos queda

${\vec {0}}=v_{A}{\vec {\imath }}+\left(-{\frac {v_{B}-v_{A}}{2R}}\right){\vec {k}}\times (x_{I}{\vec {\imath }}+y_{I}{\vec {\jmath }})=\left(v_{A}+{\frac {v_{B}-v_{A}}{2R}}y_{I}\right){\vec {\imath }}+\left({\frac {v_{B}-v_{A}}{2R}}\right)x_{I}{\vec {\jmath }}$

Igualando cada componente de la velocidad a 0 obtenemos

$x_{I}=0\qquad \qquad y_{I}=-{\frac {2Rv_{A}}{v_{B}-v_{A}}}$

En forma vectorial

${\overrightarrow {AI}}=-{\frac {2Rv_{A}}{v_{B}-v_{A}}}{\vec {\jmath }}$

Este punto está sobre la línea vertical que pasa por A y B pero puede estar bajo el disco, en su interior, o sobre él, dependiendo de los valores de las velocidades.

Casos particulares

v_A = v_B

En el caso de que las dos velocidades sean iguales tenemos, en primer lugar

$\omega =0\qquad \qquad (v_{A}=v_{B})$

lo que nos dice que en este momento el disco no está rotando, sino que efectúa un movimiento de traslación. Como consecuencia, la velocidad instantánea de todos los puntos es la misma

${\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{D}={\vec {v}}_{E}=v_{B}{\vec {\imath }}\qquad \qquad (v_{A}=v_{B})$

El centro instantáneo de rotación en este caso se va al infinito en la dirección vertical

${\overrightarrow {AI}}=\lim _{v_{A}\to v_{B}}-{\frac {2Rv_{A}}{v_{B}-v_{A}}}{\vec {\jmath }}=\infty {\vec {\jmath }}\qquad \qquad (v_{A}=v_{B})$

El signo es indiferente ya que podemos considerar indistintamente que el CIR está en $+\infty {\vec {\jmath }}$ o en $-\infty {\vec {\jmath }}$, siendo el resultado el mismo en ambos casos.

v_A = 0

En el segundo caso tenemos la situación típica de una rueda que rueda sin deslizar. La velocidad del punto de contacto con el suelo es nula.

En esta situación, el CIR es el propio punto A

${\overrightarrow {AI}}={\vec {0}}\qquad \qquad (v_{A}=0)$

La velocidad angular es igual a la velocidad lineal de B dividida por su distancia al eje de giro

$\omega =-{\frac {v_{B}}{2R}}\qquad \qquad (v_{A}=0)$

indicando el signo que se trata de un giro en sentido horario si $v_{B}>0$.

La velocidad de los diferentes puntos es ortogonal a su vector de posición respecto al centro de rotación y con una rapidez proporcional a la distancia a éste.

${\vec {v}}_{C}={\frac {v_{B}}{2}}{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{D}={\frac {v_{B}}{2}}({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})\qquad \qquad {\vec {v}}_{E}={\frac {v_{B}}{2}}({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }})\qquad \qquad (v_{A}=0)$

v_A = −v_B

El tercer caso es el de la rueda que patina sobre arena. Aunque se encuentra girando, desliza sobre el suelo con el resultado de que la rueda no avanza.

La velocidad del punto C es nula en este caso

${\vec {v}}_{C}={\vec {0}}\qquad \qquad (v_{A}=-v_{B})$

lo que corresponde a que la rueda gira en torno a su centro, siendo éste el CIR del movimiento

${\vec {AI}}=R{\vec {\jmath }}={\overrightarrow {AC}}\qquad \qquad (v_{A}=-v_{B})$

La velocidad angular es la correspondiente a un movimiento circular en torno al centro

$\omega =-{\frac {v_{B}}{R}}\qquad \qquad (v_{A}=-v_{B})$

y la velocidad del resto de puntos es perpendicular al vector de posición respecto al centro del disco

${\vec {v}}_{D}=v_{B}{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{E}=-v_{B}{\vec {\jmath }}\qquad \qquad (v_{A}=-v_{B})$