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| Línea 1: |
Línea 1: |
| ==[[Traslación y rotación en el plano (CMR)|Traslación y rotación en el plano]]==
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| En un movimiento plano, un sólido realiza una traslación <math>8\vec{\imath}+6\vec{\jmath}</math> seguida de una rotación de 90° en torno a la nueva posición del origen de coordenadas. ¿Qué punto del plano está al final en la misma posición que al principio?
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| ¿Cómo cambia el resultado si la rotación que sucede a la traslación es de un ángulo θ tal que tg(θ)=3\/4?
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| ==[[Caso de rotación finita (CMR)|Caso de rotación finita]]==
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| Tras una determinada rotación en torno al origen de coordenadas la base ligada al sólido se expresa en función de la base fija como<center><math>
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| \begin{array}{rcl}
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| \vec{\imath}_2 & = & 0.60\vec{\imath}_1 + 0.64\vec{\jmath}_1 - 0.48\vec{k}_1 \\
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| \vec{\jmath}_2 & = & 0.60\vec{\jmath}_1 + 0.80\vec{k}_1 \\
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| \vec{k}_2 & = & 0.80\vec{\imath}_1 - 0.48\vec{\jmath}_1 + 0.368\vec{k}_1 \end{array}</math></center>
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| # Compruébese que la base es ortonormal.
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| # Determine un vector en la dirección del eje de rotación.
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| # Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).
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| ==[[Clasificación de movimientos de un sólido]]==
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| Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, <math>m=100\,\mathrm{g}</math>, situadas en los vértices de un cubo de lado <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.
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| <center>[[Archivo:ocho-masas.png]]</center>
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| Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en <math>\vec{r}_1=b\vec{\imath}</math>, <math>\vec{r}_2=b\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{r}_3=b\vec{k}</math>
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| {| class="bordeado"
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| |-
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| ! Caso
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| ! <math>\vec{v}_1</math> (cm/s)
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| ! <math>\vec{v}_2</math> (cm/s)
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| ! <math>\vec{v}_3</math> (cm/s)
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| |-
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| ! I
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| | <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
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| | <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
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| | <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
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| |-
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| ! II
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| | <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
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| | <math>\vec{k}</math>
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| | <math>2\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
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| |-
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| ! III
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| | <math>\vec{\jmath}-\vec{k}</math>
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| | <math>-\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| |
| | <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
| |
| |-
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| ! IV
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| | <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
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| | <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
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| | <math>\vec{\imath}-\vec{\jmath}</math>
| |
| |-
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| ! V
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| | <math>\vec{\imath}+2\vec{\jmath}</math>
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| | <math>\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>
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| | <math>2\vec{\imath}+\vec{k}</math>
| |
| |-
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| ! VI
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| | <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
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| | <math>\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}</math>
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| | <math>\vec{0}</math>
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| |}
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| # Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
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| # Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
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| # Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
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| # Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.
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| ==[[Rodadura y deslizamiento de un disco]]==
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| Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>M</math> rueda y desliza sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma
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| <center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\imath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\imath}</math></center>
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| # Calcule la velocidad angular del disco.
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| # Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
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| # Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
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| # Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
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| ## <math>v_A = -v_B</math>
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| ## <math>v_A = 0</math>
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| ## <math>v_A = v_B</math>
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| ==[[Velocidades y aceleraciones en un disco rodante sobre un plano]]==
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| Un disco de radio <math>R</math> rueda sin deslizamiento sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la posición de su centro sigue una ley
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| <center><math>\overrightarrow{OG}=x\vec{\imath}+R\vec{\jmath}</math></center>
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| En función de x y sus derivadas temporales <math>\dot{x}</math> y <math>\ddot{x}</math> halle
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| # La velocidad angular del disco.
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| # La velocidad del punto B situado diametralmente opuesto al de contacto con el suelo, A, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
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| # La aceleración angular del disco
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| # Las aceleraciones de los puntos A, B, D y E.
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| ==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
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| Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
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| dicho punto de contacto con el suelo es nula
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| <center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>
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| Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente
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| <center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>
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| Para los tres casos siguientes:
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| * <math>v_A=+v_B</math>
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| * <math>v_A=0</math>
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| * <math>v_A=-v_B</math>
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| # Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
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| # Calcule la velocidad angular del sólido.
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| # Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
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| # Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
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| # Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.
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| ==[[Deslizamiento de una barra (CMR)|Deslizamiento de una barra]]==
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| Una barra metálica de 1.00 m de longitud resbala apoyada en el suelo y en una pared vertical. En un momento dado su extremo inferior se encuentra a una distancia de 60 cm de la esquina y se mueve con velocidad de 12 cm/s alejándose de la esquina
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| <center>[[Archivo:Esquema-barra-apoyada.png|500px]]</center>
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| # ¿Con qué velocidad se mueve el punto B, extremo superior de la barra?
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| # Considerando un sistema de ejes centrado en la esquina, con el suelo como eje OX y la pared como eje OZ, ¿dónde se encuentra el C.I.R. de la barra en el instante anteriormente descrito?
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| # Suponiendo un caso más general en el que la barra forma un ángulo θ con la pared y las derivadas de este ángulo respecto al tiempo valen <math>\dot{\theta}</math> y <math>\ddot{\theta}</math>, siendo <math>\ell</math> la longitud de la barra. Halle cuánto valen en ese caso
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| ## Las velocidades y aceleraciones lineales de los puntos A y B de apoyo de la barra en el suelo y la pared, del centro G de la barra y de la esquina O considerada como punto del sólido.
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| ## La posición del CIR, ¿qué curva describe al ir moviéndose la barra?
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| ### En un sistema de referencia fijo unido al suelo y la pared.
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| ### En un sistema de referencia móvil ligado a la barra.
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| # Para cada instante, ¿hay algún punto que tenga aceleración nula? ¿Y aceleración normal nula? ¿Y aceleración tangencial nula?
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| <math></math>
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| ==[[Ejemplo gráfico de movimiento plano]]==
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| En un movimiento plano, se tiene que la velocidad instantánea de dos puntos A y B es la ilustrada en la figura (para la posición, la cuadrícula representa cm y para la velocidad cm/s)
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| <center>[[Archivo:mov-plano-rejilla.png|300px]]</center>
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| # En dicho instante, ¿cuál es la velocidad del origen de coordenadas O?
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| # ¿Dónde se encuentra el centro instantáneo de rotación?
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| ==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
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| Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
| |
| dicho punto de contacto con el suelo es nula
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| <center><math>\vec{v}_O = \vec{0}</math></center>
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| Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente
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| <center><math>\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}</math></center>
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| <center>[[Archivo:bola-sobre-plano.png]]</center>
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| Para los tres casos siguientes:
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| * <math>v_A=+v_B</math>
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| * <math>v_A=0</math>
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| * <math>v_A=-v_B</math>
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| # Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
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| # Calcule la velocidad angular del sólido.
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| # Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
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| # Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
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| # Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.
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| ==[[Comparación de posibles movimientos]]==
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| De las siguientes cuatro figuras, solo una representa velocidades posibles de los extremos A y B de una barra rígida que realiza un movimiento plano. ¿Cuál?
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| {| class="bordeado"
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| |-
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| | [[Archivo:vel-sol-a.png|300px]]
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| | [[Archivo:vel-sol-b.png|300px]]
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| |-
| |
| ! A
| |
| ! B
| |
| |-
| |
| | [[Archivo:vel-sol-c.png|300px]]
| |
| | [[Archivo:vel-sol-d.png|300px]]
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| |-
| |
| ! C
| |
| ! D
| |
| |}
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| Para la barra anterior, ¿dónde se encuentra su centro instantáneo de rotación, según la cuadrícula de la figura?
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| ¿Cuánto vale, en rad/s, la velocidad angular instantánea de este movimiento, si la cuadrícula representa m en distancias y m/s en velocidades?
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| ==[[Movimiento circular de sistema de referencia]]==
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| Un sólido describe un movimiento plano tal que un punto A describe un movimiento circular de radio b alrededor del origen de coordenadas, con una ley <math>\phi=\phi(t)</math>. Simultáneamente, unos ejes ligados al sólido en el punto A van girando con una ley θ(t). Para cada instante, determine
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| # la velocidad y aceleración del origen de coordenadas O considerado como parte del sólido.
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| # la posición del CIR en función de θ, φ y sus derivadas respecto al tiempo.
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| ==[[Peonza rodante (CMR)|Peonza rodante]]==
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| Una peonza está formada por una varilla de longitud <math>\ell=20\,cm</math> ensartada en un disco de radio <math>R=15\,\mathrm{cm}</math>. Esta peonza se mueve de forma que el extremo O de la varilla está inmóvil mientras el centro G del disco describe un movimiento circular uniforme alrededor del eje OZ con rapidez <math>v_0=48\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>. El disco rueda sin deslizar sobre el plano OXY, de manera que en todo instante la velocidad del punto de contacto A es nula.
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| <center>[[Archivo:peonza-rodante.png|600px]]</center>
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| Para este movimiento, determine, en el instante en que A se encuentra sobre el eje OX:
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| # La velocidad angular del sólido.
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| # La velocidad del punto B, diametralmente opuesto a A, y del punto P situado en <math>25\vec{k}\,\mathrm{cm}</math>, considerado como punto del sólido.
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| # La aceleración angular del sólido.
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| # La aceleración de los puntos A, G, B, O y P, considerados como puntos del sólido.
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| [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)|0]]
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