(Página creada con «== Enunciado == Se tiene un resorte ideal horizontal con constante elástica <math>k=224\,\mathrm{N/m}</math>. Se le engancha una masa <math>m=500\,\mathrm{g}</math>, de modo que oscila sobre una superficie horizontal sin rozamiento. #¿Cuál es la frecuencia natural de oscilación de la masa, aproximadamente? #Se sumergen tres copias idénticas de este sistema en tres líquidos diferentes, de modo que actúa una fuerza de rozamiento <math>\vec{F}_R = -b_i\vec{v}</mat…»)
 
(Página creada con «= Partícula sobre rampa con muelle, tirada por un cable = right Una partícula de masa <math>m</math> sube deslizándose por un plano inclinado bajo la acción de un cable que tire de ella. El contacto con el plano es rugoso y está caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>. El plano inclinado forma…»)
 
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== Enunciado ==
=[[Partícula sobre rampa con muelle, tirada por un cable Septiembre 2015 (G.I.C.)| Partícula sobre rampa con muelle, tirada por un cable]] =
Se tiene un resorte ideal horizontal con constante elástica <math>k=224\,\mathrm{N/m}</math>. Se le engancha una masa <math>m=500\,\mathrm{g}</math>, de modo que oscila sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
[[Imagen:F1_GIC_particula_cable_muelle_enunciado.png|right]]
#¿Cuál es la frecuencia natural de oscilación de la masa, aproximadamente?
Una partícula de masa <math>m</math> sube deslizándose por un plano inclinado bajo la
#Se sumergen tres copias idénticas de este sistema en tres líquidos diferentes, de modo que actúa una fuerza de rozamiento <math>\vec{F}_R = -b_i\vec{v}</math> sobre cada masa. En cada líquido el coeficiente de rozamiento es <math>b_1=10.6\,\mathrm{kg/s}</math>, <math>b_2=21.2\,\mathrm{kg/s}</math>, <math>b_3=42.4\,\mathrm{kg/s}</math>. Clasifica los líquidos, en orden creciente de eficiencia de frenado (primero el que es más eficiente).
acción de un cable que tire de ella. El
contacto con el plano es rugoso y está caracterizado por un
coeficiente de rozamiento dinámico <math>\mu</math>. El plano inclinado forma un
ángulo de <math>\pi/4</math> radianes con la horizontal. El cable gira sin rozamiento en una
polea sin masa situada en el punto <math>A</math> y se enrolla en un cilindro en
el punto <math>O</math>, también sin rozamiento. Tanto la polea como el cilindro tienen radios
despreciables. Además un muelle de longitud natural nula, constante elástica <math>k</math>
y anclado en el punto <math>B</math> está acoplado a la partícula. La longitud total del
cable entre los puntos <math>A</math> y <math>P</math>  
es una función del tiempo <math>l(t) = R + \sqrt{2}R(1-t/T)</math>, siendo <math>T</math>
una constante con dimensiones de tiempo.


== Solución ==
#Determina en función del tiempo los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula tomando como referencia el punto <math>O</math> y los ejes cartesianos indicados en la figura.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
#Calcula la fuerza <math>\vec{F}</math> que ejerce el cable sobre la partícula en cada instante de tiempo.
#Calcula el trabajo realizado por el cable y por el muelle en el trayecto entre los puntos <math>B</math> y <math>O</math>, así como la variación de energía mecánica de la partícula.


=== Frecuencia natural ===
La frecuencia angular natural del resorte es
<center>
<math>
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}
</math>
</center>
Expresada en <math>Hz </math>, queda
<center>
<math>
f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}} = 3.38\,\mathrm{Hz}
</math>
</center>


=== Eficiencia de frenado de los líquidos ===
=[[Disco apoyado en barra y caja Septiembre 2015 (G.I.C.)| Disco apoyado en barra y caja]] =
El factor de rozamiento en la ecuación diferencial es
[[Imagen:F1_GIC_disco_barra_caja_enunciado.png|right]]
<center>
El disco de la figura tiene masa <math>M</math> y radio <math>R</math>. Se apoya en el punto <math>B</math> en
<math>
una barra de masa despreciable y longitud <math>2R</math>, y en el punto <math>D</math> en una caja de masa
\gamma = \dfrac{b}{2m}
despreciable. Los contactos en <math>B</math> y <math>D</math> son lisos. A su vez la barra se apoya
</math>
sobre la caja en el punto <math>A</math>, con contacto también liso. La caja se apoya en el
</center>
suelo en el punto <math>O</math>, con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente
La eficiencia de frenado es máxima en condiciones de amortiguamiento crítico, es decir, cuando <math>\gamma = \omega_0 </math>. Después viene el caso sobre amortiguado, es decir, <math>\gamma>\omega_0 </math>. Por último, el líquido que frena menos eficientemente es el que está subamortiguado, es decir, <math>\gamma<\omega_0 </math>. Esto da el orden 3, 2, 1.
de rozamiento estático <math>\mu</math>. Se aplica una fuerza <math>\vec{F}</math> sobre el punto <math>E</math>
de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.


[[Categoría:  Problemas de movimiento oscilatorio ]]
#Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
[[Categoría:Problemas de examen]]
#Calcula el valor de <math>\vec{F}</math> para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de <math>\alpha</math>.
[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]
#Calcula la reacción en el punto <math>O</math> y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso <math>\alpha=\pi/4</math>.
#Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso <math>\alpha=\pi/4</math>.

Revisión actual - 09:25 3 nov 2023

Partícula sobre rampa con muelle, tirada por un cable

Una partícula de masa sube deslizándose por un plano inclinado bajo la acción de un cable que tire de ella. El contacto con el plano es rugoso y está caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico . El plano inclinado forma un ángulo de radianes con la horizontal. El cable gira sin rozamiento en una polea sin masa situada en el punto y se enrolla en un cilindro en el punto , también sin rozamiento. Tanto la polea como el cilindro tienen radios despreciables. Además un muelle de longitud natural nula, constante elástica y anclado en el punto está acoplado a la partícula. La longitud total del cable entre los puntos y es una función del tiempo , siendo una constante con dimensiones de tiempo.

  1. Determina en función del tiempo los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula tomando como referencia el punto y los ejes cartesianos indicados en la figura.
  2. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
  3. Calcula la fuerza que ejerce el cable sobre la partícula en cada instante de tiempo.
  4. Calcula el trabajo realizado por el cable y por el muelle en el trayecto entre los puntos y , así como la variación de energía mecánica de la partícula.


Disco apoyado en barra y caja

El disco de la figura tiene masa y radio . Se apoya en el punto en una barra de masa despreciable y longitud , y en el punto en una caja de masa despreciable. Los contactos en y son lisos. A su vez la barra se apoya sobre la caja en el punto , con contacto también liso. La caja se apoya en el suelo en el punto , con un contacto rugoso caracterizado por un coeficiente de rozamiento estático . Se aplica una fuerza sobre el punto de la caja con la dirección y sentido indicados en la figura.

  1. Dibuja los diagramas de cuerpo libre de la caja, el disco y la barra, indicando todas las relaciones entre las distintas fuerzas.
  2. Calcula el valor de para que la caja esté en equilibrio para un valor dado de .
  3. Calcula la reacción en el punto y analiza el equilibrio frente a deslizamiento para el caso .
  4. Calcula la fuerza que el disco ejerce sobre la barra y la caja para el caso .