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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[File:F1GIERM_barra_disco_enunciado.png|right]]
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| Una varilla recta y rígida (sólido "0") se mueve siempre contenida en el plano
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| fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido "1"), girando, con velocidad angular constante <math>\Omega</math>
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| y en el sentido indicado en la figura, alrededor de su extremo articulado el
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| punto fijo <math>O</math>. El centro <math>C</math> de un disco de radio <math>R</math> (sólido "2"), recorre
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| la varilla alejándose con aceleración constante <math>2a_0</math>. En el instante inicial
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| <math>t=0</math>, el punto <math>C</math> coincidía con el <math>O</math> y su velocidad era nula.
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| A su vez, el disco gira
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| alrededor de su centro <math>C</math> en el sentido indicado, con velocidad angular
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| constante <math>\omega</math> (respecto a la varilla) y permaneciendo siempre paralelo al
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| plano fijo <math>OX_1Y_1</math>. En el instante inicial la varilla recta
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| coincidía con el eje <math>OX_1</math>,
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| #Determina reducciones cinemáticas y sus derivadas temporales de los movimientos {01}, {20} y {21}. Puedes hacerlo en cualquier punto.
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| #En el instante <math>t=1/\Omega</math>, encuentra la posición de los C.I.R. de los tres movimientos.
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| = Solución =
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| == Reducciones cinemáticas ==
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| === Movimiento {01} ===
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| El movimiento {01} es plano. Del dibujo vemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}.
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| </math>
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| </center>
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| Como <math>\Omega</math> es constante en el tiempo tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\alpha}_{01} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}.
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| </math>
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| </center>
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| Por otro lado, el punto <math>O</math> del sólido "0" coincide siempre con el punto <math>O</math> del sólido "1" en todo instante de tiempo. Entonces
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad
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| \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}.
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| </math>
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| </center>
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| Es decir, la reducción cinemática en <math>O</math> de este movimiento es
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| <center>
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| <math>
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| R(O) = \{\vec{v}^{\,O}_{01}, \vec{\omega}_{01}\}.
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| </math>
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| </center>
| |
| Su derivada temporal es
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| <center>
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| <math>
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| \{\vec{a}^{\,O}_{01}, \vec{\alpha}_{01}\}.
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| </math>
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| </center>
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| === Movimiento {20} ===
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| Reducimos este movimiento en el punto <math>C</math>. Como es plano, del
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| dibujo vemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega}_{20} = -\omega\,\vec{k}.
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| </math>
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| </center>
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| Como <math>\omega</math> es constante en el tiempo tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\alpha}_{20} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}.
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| </math>
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| </center>
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| El punto <math>C</math> del disco desliza sobre el eje <math>OX_0</math> con aceleración uniforme
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| <center>
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| <math>
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| \vec{a}^{\,O}_{20} = 2a_0\,\vec{\imath}_0.
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| </math>
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| </center>
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| Como en el instante inicial el centro del disco estaba en <math>O</math> y tenía velocidad nula tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,O}_{20} = 2a_0t\,\vec{\imath}_0.
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| </math>
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| </center>
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| Es decir, la reducción cinemática en <math>C</math> de este movimiento es
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| <center>
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| <math>
| |
| R(C) = \{\vec{v}^{\,C}_{20}, \vec{\omega}_{20}\}.
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| </math>
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| </center>
| |
| Su derivada temporal es
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| <center>
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| <math>
| |
| \{\vec{a}^{\,C}_{20}, \vec{\alpha}_{20}\}.
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| </math>
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| </center>
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| == Movimiento {21} ==
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| Construimos este movimiento con la composición
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| <center>
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| <math>
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| \{21\} = \{20\} + \{01\}.
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| </math>
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| </center>
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| Para la velocidad y aceleración angulares tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{l}
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| \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = (\Omega-\omega)\,\vec{k},\\
| |
| \\
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| \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \vec{0}.
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| Para la velocidad en <math>C</math> tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \begin{array}{rl}
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| \vec{v}^{\,C}_{21} & = \vec{v}^{\,C}_{20} + \vec{v}^{\,C}_{01} =
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| 2ac_0t\,\vec{\imath}_0 + a_0t^2\,\vec{\imath}\\
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| &\\
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| &\vec{v}^{\,C}_{20} = 2a_0t\,\vec{\imath}_0\\
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| &\\
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| &\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC} = a_0\Omega_0t^2\,\vec{\jmath}_0\\
| |
| &\\
| |
| &\overrightarrow{OC} = a_0t^2\,\vec{\imath}
| |
| \end{array}
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| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
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| [[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]]
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| [[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]
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