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| Línea 1: |
Línea 1: |
| == Enunciado ==
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| [[Imagen:MR_inercia_eje_enunciado.png|right]]
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| Tenemos un aro homogéneo de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> con centro <math>O</math>. Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.
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| #Calcula la matriz de inercia en <math>O</math>, usando los ejes indicados en la figura.
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| #Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por <math>O</math> y forma un ángulo de <math>\pi/3</math> con el eje <math>OX_3</math>.
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| #El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación <math>\vec{\omega} </math> paralelo al eje. Calcula el momento cinético en <math>O </math> y la energía cinética del aro.
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| == Solución ==
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| === Tensor de inercia ===
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| La forma general del tensor de inercia en un punto es
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| <center>
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| <math>
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| \overleftrightarrow{I_O}
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| =
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| \left[
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| I_{11} & -P_{12} & -P_{13}\\
| |
| -P_{12} & I_{22} & -P_{23}\\
| |
| -P_{13} & -P_{23} & I_{33}
| |
| \end{array}
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| \right]
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| </math>
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| </center>
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| Ya hemos usado que el tensor es simétrico. Vamos a calcular primero los elementos no diagonales.
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| Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| P_{13} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_3=0
| |
| </math>
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| </center>
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| Esta integral se anula porque para todos los puntos del aro se cumple <math> x_3=0 </math>. Por la misma razón tenemos
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| <center>
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| <math>
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| P_{23} = \int\mathrm{d}m\,x_2x_3=0
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Para el otro producto de inercia
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| <center>
| |
| <math>
| |
| P_{12} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_2 =
| |
| \int\mathrm{d}m (R\cos\theta)(R\,\mathrm{sen}\,\theta)
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Tenemos
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| <center>
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| <math>
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| \mathrm{d}m = \dfrac{M}{2\pi R}\,R\mathrm{d}\theta
| |
| </math>
| |
| </center>
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| por lo que
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| <center>
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| <math>
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| P_{12} = \int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \dfrac{MR}{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta
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| =
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| \dfrac{MR}{4\pi} \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \,\mathrm{sen}\,(2\theta)
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| =0
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| </math>
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| </center>
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| Los tres productos de inercia son cero. Este resultado se puede obtener sin hacer cuentas con argumentos de simetría. Al ser el aro un sólido plano, el eje <math>X_3 </math> es principal de inercia, pues es perpendicular al plano del sólido. Y como el aro tiene simetría de revolución alrededor de <math>X_3 </math>, todas las direcciones perpendiculares a <math>X_3 </math> que pasen por <math>O </math> son principales de inercia, en particular <math>X_1 </math> y <math>X_2 </math>. Entonces, el tensor de inercia es diagonal respecto a los tres ejes indicados.
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| Vamos con los momentos de inercia. Al ser un sistema plano tenemos
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| <center>
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| <math>
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| I_{33} = I_{11} + I_{22}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Y por la simetría del aro tenemos
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| <center>
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| <math>
| |
| I_{11} = I_{22}\Longrightarrow I_{11} = I_{22} = \dfrac{1}{2}I_{33}
| |
| </math>
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| </center>
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| Basta entonces con calcular <math>I_{33} </math>.
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| <center>
| |
| <math>
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| I_{33} ) \int\mathrm{d}m\,(x_1^2+x_2^2) =
| |
| \int\mathrm{d}m R^2=
| |
| R^2\int\mathrm{d} m =
| |
| MR^2
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Todos los puntos están a la misma distancia del eje <math>X_3 </math>, el radio del aro <math>R </math>. Y la integral que queda es la masa total del aro.
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| Entonces el tensor de inercia en <math>O </math> es
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| <center>
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| <math>
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| \overleftrightarrow{I_O}
| |
| =
| |
| I
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| 1 & 0 & 0\\
| |
| 0 & 1 & 0\\
| |
| 0 & 0 & 2
| |
| \end{array}
| |
| \right]
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| con
| |
| <center>
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| <math>
| |
| I = \dfrac{1}{2}M R^2
| |
| </math>
| |
| </center>
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| === Momento de inercia respecto a un eje ===
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| Conocido el tensor de inercia, el momento de inercia respecto a un eje <math>\Delta </math> que pase por el punto es
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| <center>
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| <math>
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| I_{\Delta}
| |
| =
| |
| \vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| donde <math>\vec{n} </math> es un vector unitario en la dirección del eje <math>\Delta </math>.
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|
| |
| Por simetría, podemos considerar que el eje <math>\Delta </math> está en el plano <math>X_2X_3 </math>. El resultado no debe cambiar si giramos el eje alrededor de <math>X_3 </math>. Entonces el vector <math>\vec{n} </math> es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{n} = [0, \mathrm{sen}\,(\pi/3), \cos(\pi/3)]
| |
| =
| |
| [0, \sqrt{3}/2, 1/2]
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| El momento de inercia pedido es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| I_{\Delta} =
| |
| I[0, \sqrt{3}/2, 1/2]
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| 1 & 0 & 0\\
| |
| 0 & 1 & 0\\
| |
| 0 & 0 & 2
| |
| \end{array}
| |
| \right]
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{c}
| |
| 0\\
| |
| \sqrt{3}/2 \\
| |
| 1/2
| |
| \end{array}
| |
| \right]
| |
| =
| |
| I[0, \sqrt{3}/2, 1/2]
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{c}
| |
| 0\\
| |
| \sqrt{3}/2 \\
| |
| 1
| |
| \end{array}
| |
| \right]=
| |
| I\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\right)
| |
| =
| |
| \dfrac{5}{4}I=
| |
| \dfrac{5}{8}MR^2
| |
| </math>
| |
| </center>
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|
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| === Momento cinético en la rotación ===
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| El vector rotación puede escribirse <math>\vec{\omega}=\omega\vec{n} </math> siendo <math>\vec{n} </math> el vector unitario paralelo al eje del apartado anterior. Al se <math>O </math> un punto fijo, el momento cinético es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{L}_O = \overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega} =
| |
| I
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{ccc}
| |
| 1 & 0 & 0\\
| |
| 0 & 1 & 0\\
| |
| 0 & 0 & 2
| |
| \end{array}
| |
| \right]
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{c}
| |
| 0\\
| |
| \sqrt{3}\omega/2 \\
| |
| \omega/2
| |
| \end{array}
| |
| \right]
| |
| =
| |
| I\omega
| |
| \left[
| |
| \begin{array}{c}
| |
| 0\\
| |
| \sqrt{3}/2 \\
| |
| 1
| |
| \end{array}
| |
| \right]
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Podemos ver que el momento cinético <math>\vec{L}_O </math> y el vector rotación no son paralelos. El ángulo que forman es
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| <center>
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| <math>
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| \cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|}
| |
| =
| |
| \dfrac{5}{2\sqrt{7}}
| |
| </math>
| |
| </center>
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| Por tanto el eje no es dirección principal de inercia
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|
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| La energía cinética es, al ser <math>O </math> un punto fijo
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| <center>
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| <math>
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| T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega}
| |
| =
| |
| \dfrac{\omega^2}{2}\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}
| |
| =
| |
| \dfrac{1}{2}I_{\Delta}\omega^2
| |
| =
| |
| \dfrac{5}{16}MR^2\omega^2
| |
| </math>
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| </center>
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| [[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]
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| [[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido]]
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