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Problemas de Dinámica del sólido rígido vinculado(MR G.I.C.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Barra empujando placa deslizante)
(Barra deslizando sobre una esquina)
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Una barra homogénea de masa $m$ y longitud $L=2a$, se mueve en un plano
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  vertical, de modo que sus extremos $B$ y $A$ se mueven sobre los ejes $OX_1$ y
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  $OY_1$, respectivamente. Suponiendo contactos lisos:
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  \begin{enumerate}
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    \item Encuentra una integral primera del movimiento en caso de apoyos
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      bilaterales. Las condiciones iniciales son $\theta(0)=0$,
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      $\dot{\theta}(0)=0$.
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    \item Encuentra las ecuaciones de movimiento aplicando el T.C.M. y el T.M.C.
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      en el centro de masas de la barra.
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    \item Determina el ángulo $\theta_0$ para el que la barra se despegaría del
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      eje por su extremo $A$ en caso de apoyo unilateral en ese punto.
==[[ Barra empujando placa deslizante (MR G.I.C.) | Barra empujando placa  
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Revisión de 10:55 22 oct 2021

Contenido

1 Problemas del boletín

1.1 Barra deslizando sobre una esquina

Una barra homogénea de masa $m$ y longitud $L=2a$, se mueve en un plano
 vertical, de modo que sus extremos $B$ y $A$ se mueven sobre los ejes $OX_1$ y
 $OY_1$, respectivamente. Suponiendo contactos lisos:
 \begin{enumerate}
   \item Encuentra una integral primera del movimiento en caso de apoyos
     bilaterales. Las condiciones iniciales son $\theta(0)=0$,
     $\dot{\theta}(0)=0$.
   \item Encuentra las ecuaciones de movimiento aplicando el T.C.M. y el T.M.C.
     en el centro de masas de la barra.
   \item Determina el ángulo $\theta_0$ para el que la barra se despegaría del
     eje por su extremo $A$ en caso de apoyo unilateral en ese punto.

== Barra empujando placa deslizante==

El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa m, longitud l_2=2\sqrt{2}a) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa m, lado l0 = 2a) articulados entre sí en el punto B. Sobre el eje OX1 se apoyan el extremo A de la barra y el lado BD del cuadrado. Todos los contactos son lisos. Sobre el extremo A se aplica una fuerza horizontal creciente \vec{F}=2\lambda mg\vec{\imath}_1 (λ = t / T), donde T es una constante. Inicialmente (t = 0), el sistema está en reposo y A coincide con O.

  1. Calcula la aceleración del sistema, los valores de las fuerzas vinculares y la posición de la fuerza normal en BD, todo ello en función del tiempo.
  2. Calcula el instante en que el vértice B' empieza a despegar (condición de vuelco) y el trabajo realizado hasta ese instante por la fuerza \vec{F}.

1.2 Barra empujando placa con vértice fijo

El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa m, longitud l_2=2\sqrt{2}a) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa m, lado l0 = 2a) articulados entre sí en el punto B. Sobre el eje OX1 se apoyan el extremo A de la barra y el lado BD del cuadrado. Todos los contactos son lisos, salvo el apoyo del cuadrado, donde el coeficiente de rozamiento μ es tal que el deslizamiento es imposible. Sobre el extremo A se aplica una fuerza horizontal \vec{F}=2\lambda mg\vec{\imath}_1 donde λ es un parámetro del problema. Inicialmente A coincide con O.

  1. Obtén el sistema de ecuaciones que permite determinar la ecuación diferencial del movimiento y las fuerzas vinculares del problema.
  2. Suponiendo λ = λ0(cte.), demuestra que el trabajo de \vec{F} es conservativo, con una energía potencial VF(x) = − F0x, donde F0 = 2λ0mg. Obtén el movimiento del sistema en forma de integral primera, suponiendo reposo inicial.

2 Disco rodando en cavidad con muelle de torsión

Un disco de radio R y masa m (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio 3R. En el centro del disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud 2R. El otro extremo de la barra se articula en un punto fijo O. La barra está conectada a su vez a un resorte de torsión en el punto O. Este resorte ejerce un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él se puede expresar como Uk = kφ2, siendo k una constante.

  1. Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre \dot{\phi} y \dot{\psi}?.
  2. Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
  3. Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo φ es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
  4. Estando el disco en reposo y con φ = 0, se aplica al centro del disco una percusión \hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0. Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje. OY1.

3 Otros problemas

3.1 Disco rodando sobre escuadra giratoria

Un disco (sólido "2") de masa M y radio R, rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano OX1Y1 con velocidad angular constante ω0.

  1. Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del problema en el centro del disco G.
  2. Calcula el momento cinético del disco respecto a G y O, su energía cinética y su energía potencial.
  3. Aplicando los métodos de la Mecánica Vectorial, encuentra las ecuaciones de movimiento del disco. ¿Cuál es la frecuencia propia de oscilación del sistema (también llamada frecuencia natural)?
  4. Encuentra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra (sólido "0") para que se mueva de la forma descrita.

3.2 Disco deslizando por barra horizontal con muelle

El disco plano de la figura, (sólido "2", masa m, radio R) desliza sin rozamiento sobre una barra rígida (sólido "0") de masa despreciable, a la vez que rota alrededor de ella. A su vez esta barra, que permanece siempre en el plano OX1Y1, rota alrededor el eje OZ0. Un muelle de constante elástica k y longitud natural R conecta el punto O con el centro del disco. En el instante inicial se tiene s(0) = 2R, \dot{s}(0)=0, φ(0) = 0, \dot{\phi}(0)=\omega_0, \dot{\theta}(0)=0.

  1. Determina la reducción cinemática del centro de masas del sólido "2" (punto G) en su movimiento absoluto, así como su derivada temporal.
  2. Encuentra la expresión de la energía cinética del disco, así como su momento cinético respecto a O.
  3. Haz la desvinculación global del disco en su centro de masas. Indica cuantas incógnitas hay en el problema y que ecuaciones usarías para resolverlo (no hace falta escribir las ecuaciones)
  4. Encuentra y escribe dos integrales primeras del movimiento.

3.3 Barra articulada sobre muelle

En el sistema de la figura, la barra delgada homogénea OA (sólido "2"), de masa m y longitud L, está articulada en el punto O. El punto O puede moverse sobre el eje fijo O1Z1, y está conectado a un muelle de constante elástica k y longitud natural L. El muelle siempre permanece vertical. La barra "2" está siempre contenida en el plano O1X0Z0, como se indica en la figura.

  1. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en los puntos O y G.
  2. Calcula el momento cinético de la barra "2" en O y G (\vec{L}_O, \vec{L}_G).
  3. Calcula la energía cinética de la barra "2".
  4. Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. escribe las ecuaciones de movimiento del sistema.
  5. Escribe todas las integrales primeras del movimiento que puedas encontrar.

3.4 Barra con centro deslizando sobre eje

Una barra homogénea delgada (sólido "2") de masa M y longitud 2L se mueve de modo que su centro se encuentra siempre sobre el eje OZ1. La barra tiene dos grados de libertad de rotación. El sistema auxiliar OX0Y0Z0 se define de modo que la barra esté siempre contenida en el plano OX0Z0. La barra está sometida a la acción de la gravedad, como se indica en la figura. El contacto de la barra con el eje OZ1 es liso.

  1. Calcula las reducciones cinematicas en el centro de la barra de los tres movimientos que se pueden definir en el problema.
  2. Encuentra la expresión del momento cinético de la barra respecto de su centro.
  3. Encuentra la expresión de la energía cinética de la barra.
  4. Escribe la Lagrangiana del sistema, así como una integral primera que no sea la energía mecánica.
  5. En el instante inicial, el centro de la barra se encuentra en el punto O y los valores iniciales de las coordenadas angulares son θ(0) = π / 2 y φ(0) = 0. La barra se encuentra en reposo. Se ejerce una percusión \hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,(\vec{\jmath}_0 + \vec{k}_0) aplicada en el punto B. Determina los valores de las velocidades generalizadas justo después de la percusión.

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