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Preguntas de test de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Solución)
(Pregunta 3)
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===Solución===
==Lanzamiento horizontal desde una torre==
==Lanzamiento horizontal desde una torre==

Revisión de 13:20 9 nov 2013

Contenido

1 Movimiento oscilatorio sobre circunferencia

Una partícula se mueve sobre la circunferencia, expresada en polares y en el SI, ρ = 1.00m, siguiendo la ley horaria

\varphi = \pi \cos(\pi t)\qquad \forall t

con \varphi el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX positivo.

1.1 Pregunta 1

La aceleración angular en t = (1/3)s vale aproximadamente, en rad/s²,…

  • A -4.93\vec{k}
  • B -8.54\vec{k}
  • C -15.5\vec{k}
  • D +8.54\vec{k}

1.1.1 Solución

La respuesta correcta es la C.

En el caso de un movimiento circular en el plano XY con centro el origen de coordenadas, la aceleración angular es un vector en la dirección del eje OZ y cuya componente vertical es igual a la segunda derivada del ángulo \varphi respecto al tiempo

\vec{\alpha}=\ddot{\varphi}\vec{k}

En este caso

\vec{\omega} = \dot{\varphi}\vec{k}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha} = -\pi^3\cos(\pi t)\vec{k}

En t = (1 / 3)s, su valor es

\vec{\alpha}(t=1/3) = \left(-\pi^3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-\frac{\pi^3}{2}\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-15.5\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}

1.2 Pregunta 2

Para este mismo movimiento, la velocidad lineal cuando pasa por \varphi=0 es…

  • A \pm(9.86\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • B nula.
  • C \pm (3.14 \vec{\imath})\mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • D (9.86 \vec{u}_\rho)\mathrm{m}/\mathrm{s}.

1.2.1 Solución

La respuesta correcta es la A.

A la respuesta correcta se puede llegar sin hacer ningún cálculo.

Al pasar por el origen la velocidad no es nula, sino máxima como ocurre siempre en el punto de equilibrio de un movimiento oscilatorio. Esto descarta la respuesta B.

Asimismo, la velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria. En \varphi=0 la circunferencia tiene tangente vertical, que es la dirección de \vec{\jmath}. Por lo tanto no puede ser correcta la respuesta C ni la D (perpendiculares ambas a la circunferencia).

Esto nos deja solo con la opción A, que es la correcta.

Podemos, no obstante, calcular la velocidad lineal en ese punto.

La velocidad lineal en un movimiento circular la podemos calcular a partir de la velocidad angular y el vector de posición

\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}

Cuando la partícula pasa por \varphi=0 su posición es

\vec{r}=R\vec{\imath}

por lo que

\vec{v}=\omega R\vec{\jmath}

La velocidad lineal, que es siempre tangente a la trayectoria, va en la dirección paralela al eje Y para este punto. No obstante, podría ser nula, por lo que debemos calcular el valor de la velocidad angular.

\omega = \dot{\varphi}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)

La partícula pasa por \varphi=0 cuando

\pi\cos(\pi t) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}{\pi}\arccos(0) = \left(\frac{\pi/2+ n\pi}{\pi}\right)\mathrm{s}=\left(\frac{1}{2}+n\right)\mathrm{s}

Para estos instantes

\omega = -\pi^2\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\pm \pi^2\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

El signo depende del valor de n. Si n es par es negativo, y positivo si es impar. De aquí nos quedan los valores para la velocidad

\vec{v}=\left(\pm \pi^2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= \left(\pm 9.87\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Archivo:movimiento-circular-oscilatorio.gif

Este resultado se puede visualizar observando que el movimiento que realiza la partícula es oscilatorio en la coordenada \varphi, esto es, es análogo a un movimiento armónico simple, pero sobre una circunferencia en lugar de en línea recta. El punto \varphi=0 corresponde al punto central de la oscilación, en el que la velocidad es máxima, pudiendo ir en un sentido o en el opuesto.

1.3 Pregunta 3

Para el mismo movimiento, indique cuál de las siguientes figuras representa la velocidad y la aceleraciones lineales en t = (1/3)s.

Archivo:va-circular-oscilatorio-01.png Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png
A B
Archivo:va-circular-oscilatorio-03.png Archivo:va-circular-oscilatorio-04.png
C D

1.4 Solución

2 Lanzamiento horizontal desde una torre

Una partícula se lanza horizontalmente con una rapidez de 8.0 m/s desde una torre de 20.0 m de altura, estando sometida exclusivamente a la aceleración de la gravedad.

¿Cuánto tarda aproximadamente en impactar con el suelo y a qué distancia de la torre lo hace?

  • A 0.8 s y 6.4 m
  • B 2.5 s y 20 m
  • C 1.4 s y 11 m
  • D 2.0 s y 16 m

¿Con qué rapidez impacta con el suelo?

  • A 8.0 m/s
  • B 21.4 m/s
  • C 19.8 m/s
  • D -19.8 m/s

3 Estudio de magnitudes instantáneas

En un instante dado, una partícula ocupa la posición \vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}, tiene una velocidad \vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s} y una aceleración \vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

¿Cuánto valen en dicho instante su aceleración tangencial y su aceleración normal, medidas en m/s²?

  • A at = 0.00 y an = 2.50
  • B at = 2.00 y an = 1.50
  • C at = − 2.50 y an = 0.00
  • D at = − 1.50 y an = 2.00

¿Cuánto vale el radio de curvatura en dicho instante?

  • A R = 10.0 m
  • B R →∞
  • C R = 16.7 m
  • D R = 12.5 m

¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo Δt = 10 s más tarde?

  • A \vec{r}= 40\vec{\jmath}-90\vec{k} y \vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}.
  • B \vec{r}=40\vec{\jmath}+35\vec{k} y \vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}.
  • C \vec{r}= 40\vec{\jmath}-95\vec{k} y \vec{v}=4\vec{\jmath}+3\vec{k}.
  • D No hay información suficiente para calcularlas.

4 Caso de aceleración tangencial constante

Una partícula se mueve a lo largo de una circunferencia de radio R en el plano OXY con centro el origen, de forma que su aceleración tangencial es constante. En este movimiento la aceleración normal…

  • A aumenta cuadráticamente con el tiempo, an = At2 + Bt + C
  • B puede tener cualquier valor y cualquier variación
  • C es constante.
  • D aumenta linealmente con el tiempo, an = At + B

5 Varillas que giran en sentidos opuestos

Se tiene una pequeña anilla P ensartada en la intersección de dos barras situadas en el plano XY: una pasa por el origen de coordenadas, girando uniformemente con velocidad angular Ω; la otra gira en sentido opuesto con la misma velocidad angular en valor absoluto en torno a un punto del eje OX situado a una distancia L del origen. En t = 0 ambas barras coinciden con el propio eje OX

¿Qué trayectoria sigue la anilla?

  • A Circular
  • B Parabólica
  • C Rectilínea
  • D Helicoidal

¿Cuales son las ecuaciones horarias de P en coordenadas polares?

  • A \rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \varphi = \Omega t
  • B \rho = (L/2)\cos(\Omega t)\qquad \varphi = \Omega t
  • C \rho = L\tan(\Omega t)/2\qquad \varphi = \Omega t
  • D \rho = L/2\qquad \varphi = \Omega t

¿Cuánto vale su aceleración como función del tiempo?

  • A \vec{a}=(L\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)/\cos(\Omega t))\vec{\jmath}
  • B \vec{a}=(L\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)/\cos^3(\Omega t))\vec{\jmath}
  • C \vec{a}=(L\Omega^2/\cos^3(\Omega t))(\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath})
  • D \vec{a}=\vec{0}

6 Estudio de movimiento instantáneo

En un instante dado una partícula se encuentra en \vec{r}_1=2\vec{\imath}-3\vec{k} (m), moviéndose con velocidad \vec{v}_1 = -3\vec{\imath}+4\vec{\jmath} (m/s)y aceleración \vec{a}_1 = 25\vec{\jmath}-20\vec{k} (m/s\tss{2}). En ese instante\ldots

¿cuánto vale la aceleración tangencial (escalar)?

  • A Necesitamos conocer como varía |\vec{v}| con el tiempo.
  • B 20 m/s²
  • C (-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
  • D 0 m/s²

¿cuánto vale la aceleración normal (vector)?

  • A \vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
  • B 25 m/s²
  • C (12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
  • D (-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

¿cuánto vale el radio de curvatura?

  • A 1.25 m.
  • B 1 m.
  • C No hay información suficiente para hallarlo.
  • D 0.80 m.

7 Ilustraciones de los vectores tangente y normal

De las siguientes cuatro figuras, señale cuál indica correctamente los vectores tangente y normal de un movimiento tridimensional

8 Movimiento circular en función del ángulo

Una partícula describe un movimiento circular de radio $R$ en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de forma que su velocidad angular cumple en cada instante

\vec{\omega}=\left(\sqrt{C\varphi}\right)\vec{k}

siendo C una constante positiva y \varphi=\varphi(t) el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX. La partícula parte en t = 0 desde \varphi=\pi/2.

¿Qué tipo de movimiento describe esta partícula?

  • A Circular uniformemente acelerado.
  • B Oscilatorio a lo largo de la circunferencia.
  • C Uno con aceleración angular que va como 1/\sqrt{\varphi}
  • D Circular uniforme.

En este movimiento, ¿son constantes las aceleraciones tangencial y normal (escalares)?

  • A La tangencial sí, pero la normal no.
  • B Las dos son constantes.
  • C No son constantes ni una ni la otra.
  • D La normal sí, pero la tangencial no.

¿Cuánto vale la aceleración lineal de la partícula en t = 0?

  • A (C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}
  • B (CR/2)\vec{k}
  • C -(C R/2)\vec{\imath}
  • D -(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}

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