Problemas de Movimiento Relativo (GITI)

Enunciado

Mediante un par de revolución, la barra ranurada horizontal $OB\,$ (sólido "0") gira en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante $\Omega \,$ alrededor del eje vertical $O_{1}Z_{1}\,$ del triedro fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}\,$ (sólido "1"). A su vez, un disco (sólido "2") de radio $R$, contenido en todo instante en el plano vertical $OX_{0}Z_{0}$, rota en el sentido indicado en la figura con velocidad angular de módulo constante $2\,\Omega \,$, mientras que su centro $C\,$ se desplaza por la ranura de la barra con celeridad constante $4\,\Omega R\,$ en el sentido positivo del eje $OX_{0}\,$. En el instante representado en la figura, y al que se refieren las siguientes preguntas, el centro $C\,$ del disco se halla a distancia $2R\,$ del extremo $O\,$ de la barra, y se denomina $A\,$ al punto del disco que ocupa la posición más alta.

1. Determine la posición del EIR{20}
2. Calcule la velocidad instantánea ${\vec {v}}_{21}^{A}\,$
3. Calcule la aceleración instantánea ${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$

Datos del problema

Comenzamos expresando en la base vectorial $\{{\vec {\imath }}_{0},{\vec {\jmath }}_{0},{\vec {k}}_{0}\}\,$, asociada al triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$, los datos que se deducen del enunciado:

${\vec {\omega }}_{01}(t)=\Omega \,{\vec {k}}_{0}$  ;    ${\vec {\omega }}_{20}(t)=-2\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$  ;    ${\vec {v}}_{20}^{\,C}(t)=4\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0}$  ;    ${\overrightarrow {OC}}=2R\,{\vec {\imath }}_{0}$  ;    ${\overrightarrow {CA}}=R\,{\vec {k}}_{0}$

Posición del EIR{20} en el instante representado en la figura

Sabemos que el EIR{20} tiene la dirección de ${\vec {\omega }}_{20}\,$. Por tanto, se trata de una recta paralela al eje $OY_{0}\,$ (perpendicular al plano $OX_{0}Z_{0}\,$). Para calcular un punto $I\,$ que pertenezca al eje EIR{20}, utilizamos la fórmula habitual:

${\overrightarrow {CI}}={\frac {{\vec {\omega }}_{20}\times {\vec {v}}_{20}^{\,C}}{|\,{\vec {\omega }}_{20}|^{\,2}}}={\frac {-2\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\times 4\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0}}{4\,\Omega ^{2}}}=2R\,{\vec {k}}_{0}$

NOTA: Este ejercicio se puso en un examen tipo test, en el cual la respuesta correcta para definir la posición del punto $I\,$ por el que pasa el EIR{20} era: ${\overrightarrow {AI}}=R\,{\vec {k}}_{0}\,$, que evidentemente es equivalente a ${\overrightarrow {CI}}=2R\,{\vec {k}}_{0}\,$ por ser ${\overrightarrow {CA}}=R\,{\vec {k}}_{0}$.

En definitiva, las ecuaciones del EIR{20} en el triedro $OX_{0}Y_{0}Z_{0}\,$ son:

${\frac {x_{0}-2R}{0}}={\frac {y_{0}}{1}}={\frac {z_{0}-2R}{0}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\{x_{0}=2R,\,\,z_{0}=2R\}$

Velocidad absoluta del punto A en el instante representado en la figura

Empezamos calculando la velocidad relativa del punto $A\,$ (${\vec {v}}_{20}^{\,A}\,$) a partir de la velocidad relativa del punto $C\,$ (${\vec {v}}_{20}^{\,C}\,$) mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {20}:

${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CA}}=4\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0}+(-2\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0})\times R\,{\vec {k}}_{0}=2\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0}$

A continuación, calculamos la velocidad de arrastre del punto $A\,$ (${\vec {v}}_{01}^{\,A}\,$) a partir de la velocidad de arrastre del punto $O\,$ (${\vec {v}}_{01}^{\,O}\,$) mediante la ecuación del campo de velocidades del movimiento {01}:

${\vec {v}}_{01}^{\,A}=\underbrace {{\vec {v}}_{01}^{\,O}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times (\,\underbrace {2R\,{\vec {\imath }}_{0}} _{\overrightarrow {OC}}+\underbrace {R{\vec {k}}_{0}} _{\overrightarrow {CA}}\,)=2\,\Omega R\,{\vec {\jmath }}_{0}$

donde se ha tenido en cuenta que el punto $O\,$ pertenece al eje permanente de rotación del movimiento {01}, es decir, se trata de un punto fijo en dicho movimiento y, por tanto, ${\vec {v}}_{01}^{\,O}(t)={\vec {0}}\,$ (y también ${\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}\,$, tal como utilizaremos después).

Finalmente, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad absoluta del punto $A\,$ (${\vec {v}}_{21}^{\,A}\,$):

${\vec {v}}_{21}^{\,A}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {v}}_{01}^{\,A}=2\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0}+2\,\Omega R\,{\vec {\jmath }}_{0}=2\,\Omega R\,({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0})$

Aceleración absoluta del punto O en el instante representado en la figura

Hallamos primero la aceleración relativa del punto $O\,$ (${\vec {a}}_{20}^{\,O}\,$) a partir de la aceleración relativa del punto $C\,$ (${\vec {a}}_{20}^{\,C}\,$) mediante la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {20}:

${\vec {a}}_{20}^{\,O}=\underbrace {{\vec {a}}_{20}^{\,C}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}+\underbrace {{\vec {\alpha }}_{20}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\times {\overrightarrow {CO}}\,+\,{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CO}})=(\,\underbrace {{\vec {\omega }}_{20}\cdot {\overrightarrow {CO}}} _{\displaystyle ={\vec {0}}}\,)\,{\vec {\omega }}_{20}-|\,{\vec {\omega }}_{20}|^{\,2}{\overrightarrow {CO}}=-4\,\Omega ^{2}(-2R\,{\vec {\imath }}_{0})=8\,\Omega ^{\,2}R\,{\vec {\imath }}_{0}$

donde se ha tenido en cuenta que:

${\vec {a}}_{20}^{\,C}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,C}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\frac {\mathrm {d} (4\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$  ;    ${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\frac {\mathrm {d} (-2\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

Por otra parte, tal como se adelantó antes, la aceleración de arrastre del punto $O\,$ (${\vec {a}}_{01}^{\,O}\,$) es nula:

${\vec {a}}_{01}^{\,O}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\frac {\mathrm {d} {\vec {0}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

Calculamos ahora el término de aceleración de Coriolis del punto $O\,$:

$2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}=2\,\Omega \,{\vec {k}}_{0}\times 4\,\Omega R\,({\vec {\imath }}_{0}-{\vec {k}}_{0})=8\,\Omega ^{\,2}R\,{\vec {\jmath }}_{0}$

donde se ha introducido el valor de ${\vec {v}}_{20}^{\,O}\,$, que se obtiene de:

${\vec {v}}_{20}^{\,O}={\vec {v}}_{20}^{\,C}\,+\,{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CO}}=4\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0}\,+\,(-2\,\Omega \,{\vec {\jmath }}_{0})\times (-2R\,{\vec {\imath }}_{0})=4\,\Omega R\,{\vec {\imath }}_{0}-4\,\Omega R\,{\vec {k}}_{0}=4\,\Omega R\,({\vec {\imath }}_{0}-{\vec {k}}_{0})$

Por último, determinamos la aceleración absoluta del punto $O\,$ (${\vec {a}}_{21}^{\,O}\,$) sumando las aceleraciones relativa, de arrastre y de Coriolis (ley de composición de aceleraciones):

${\vec {a}}_{21}^{\,O}={\vec {a}}_{20}^{\,O}+{\vec {a}}_{01}^{\,O}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,O}=8\,\Omega ^{\,2}R\,{\vec {\imath }}_{0}+8\,\Omega ^{\,2}R\,{\vec {\jmath }}_{0}=8\,\Omega ^{\,2}R\,({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0})$