Enunciado

Una cuerda ideal sin masa está completamente enrollada en una polea de masa y radio . Al extremo de la cuerda está atada una masa . El centro de la polea, que es un punto fijo, se encuentra a una altura del suelo. En el instante inicial la masa estaba a la altura del centro de la polea (punto de la figura) y la polea estaba en reposo. Entonces, se deja girar libremente a la polea. La gravedad actúa como se indica en la figura. Supondremos que la cuerda está siempre tensa y que la masa se mueve verticalmente. El momento de inercia de un disco de masa y radio respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro es .

  1. Usando la conservación de Energía Mecánica, calcula la rapidez con la que la masa impacta en el suelo.
  2. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre la masa y la polea.
  3. Aplicando la Segunda Ley de Newton. el T.C.M. y el T.M.C, calcula la aceleración de la masa, la tensión de la cuerda y las fuerzas sobre la polea durante el movimiento.

Solución

Impacto con el suelo

La única fuerza que hace trabajo es la gravedad. Al ser conservativa, se conserva la energía mecánica. Pero hay que tener en cuenta la energía cinética de la polea, pues tiene masa.

Tomando como referencia de energía potencial el suelo, en el instante inicial la energía mecánica es puramente potencial gravitatoria

Cuando la masa impacta con el suelo la energía mecánica consta de la energía cinética y la energía pontencial gravitatoria de la polea

La energía cinética es la suma de las energías cinéticas de la masa, y de la polea,

Hemos usado que , pues la velocidad de la masa es en todo instante igual a la del punto de la polea. Entonces, la energía mecánica del sistema cuando la masa impacta con el suelo es

Igualando con el valor inicial de la energía mecánica tenemos

Diagrama de fuerzas

El diagrama de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la masa y la polea. Sobre la masa actúan el peso y la tensión de la cuerda. Sobre la polea son su peso, la tensión de la cuerda en y la fuerza vincular en que garantiza que este punto nose mueve.

La expresión de estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura es, para la masa

Para la polea tenemos

Como la cuerda no tiene masa tenemos . La fuerza tiene dos componentes a priori no nulas pues el punto tiene dos movimientos prohibidos, en las direcciones de los ejes.

Aplicación de los Teoremas Fundamentales

Hemos de aplicar la Segunda Ley de Newton a la masa y el T.C.M. y el T.M.C. a la polea. Para la masa tenemos

Aplicando el T.C.M. a la polea tenemos

El centro de masas de la polea no se mueve, . Obtenemos así dos ecuaciones

Aplicamos el T.M.C. en el centro de la polea. La única fuerza que crea momento en este caso es

El momento cinético es

Su derivada temporal es

La aceleración tangencial del punto de la polea coincide con la aceleración del punto de la cuerda y, por tanto, con la aceleración de la masa

El momento creado por la fuerza es

El T.M.C. nos da entonces la ecuación

Tenemos cuatro incógnitas: con cuatro ecuaciones. Resolviendo llegamos a

La aceleración de la masa y las fuerzas sobre la polea son

Errores comunes detectados durante la corrección

  1. Al aplicar la conservación de Energía Mecánica hay que tener en cuenta la energía cinética de rotación de la polea.
  2. No hay que confundir la aceleración de la masa con la del centro de la polea. Ésta última es nula.
  3. El T.C.M. y el T.M.C. se aplican sólo a la polea. No hay que incluir el momento angular de la masa ni el momento de fuerza creado por su peso.