Placa cuadrada empujada contra una pared (Ene. 2020 G.I.C.)

Enunciado

Una placa cuadrada de masa $m$ y lado $2d$ se apoya en una pared vertical rugosa con coeficiente de rozamiento estático $\mu =1$. Una fuerza ${\vec {F}}$ empuja el bloque contra la pared. El módulo de la fuerza es $F_{0}$ y forma un ángulo $\beta$ con el eje $Y_{1}$. La gravedad actúa como se indica en la figura. El ángulo $\beta$ verifica

$\mathrm {sen} \,\beta ={\dfrac {3}{5}},\qquad \cos \beta ={\dfrac {4}{5}}.$

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la placa.
2. Calcula el valor de las fuerzas que actúan sobre la placa en condiciones de equilibrio estático.
3. ¿Que condiciones debe cumplir $F_{0}$ para que la placa no deslice?
4. ¿Que condiciones debe cumplir $F_{0}$ para que la placa no vuelque respecto a la pared?
5. ¿Que condiciones debe cumplir $F_{0}$ para que la placa ni deslice ni vuelque respecto a la pared?

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la placa: la fuerza aplicada ${\vec {F}}$, el peso ${\vec {P}}_{g}$, la fuerza vincular normal ${\vec {E}}$ y la fuerza de rozamiento ${\vec {E}}_{R}$. Expresamos estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura

${\begin{array}{lr}{\vec {F}}=-F_{0}\,\mathrm {sen} \,\beta \,{\vec {\imath }}+F_{0}\cos \beta \,{\vec {\jmath }}=-{\dfrac {3}{5}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {4}{5}}\,{\vec {\jmath }}&(B)\\{\vec {P}}_{g}=-mg\,{\vec {\jmath }}&(G)\\{\vec {E}}=E\,{\vec {\imath }}&(E)\\{\vec {E}}_{R}=E_{R}\,{\vec {\jmath }}&(E)\\\end{array}}$

Indicamos a la derecha el punto donde se aplican estas fuerzas. Todas ellas son vectores deslizantes, por lo que se pueden deslizar sobre sus respectivas rectas soporte.

Situación de equilibrio estático

Para que un sólido rígido esté en equilibrio estático deben cumplirse dos condiciones

$\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}={\vec {0}},\qquad \sum \limits _{i}{\vec {M}}_{Pi}={\vec {0}}.$

Es decir, que la suma vectorial de fuerzas que actúan sobre el sólido se anule y que el momento de fuerzas neto respecto a un punto cualquiera que actúen sobre el sólido también se anule.

La condición sobre la suma de fuerzas proporciona dos ecuaciones

${\vec {F}}+{\vec {P}}_{g}+{\vec {E}}+{\vec {E}}_{R}={\vec {0}}\to \left\{{\begin{array}{llr}X):&-{\dfrac {3}{5}}F_{0}+E=0&(1)\\&&\\Y):&{\dfrac {4}{5}}F_{0}+E_{R}-mg=0&(2)\end{array}}\right.$

Elegimos el punto $H$ de la figura para calcular los momentos

${\vec {M}}_{H}={\overrightarrow {HG}}\times {\vec {P}}_{g}+{\overrightarrow {HB}}\times {\vec {F}}+{\overrightarrow {HE}}\times {\vec {E}}={\vec {0}}.$

Los momentos son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {HG}}\times {\vec {P}}_{g}=(d\,{\vec {\imath }})\times (-mg\,{\vec {\jmath }})=-mgd\,{\vec {k}},\\\\{\overrightarrow {HB}}\times {\vec {F}}=(2d\,{\vec {\imath }}-d\,{\vec {\jmath }})\times \left(-{\dfrac {3}{5}}F_{0}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {4}{5}}F_{0}\,{\vec {\jmath }}\right)=F_{0}d\,{\vec {k}},\\{\overrightarrow {HE}}\times {\vec {P}}_{g}=(\delta \,{\vec {\jmath }})\times (E\,{\vec {\imath }})=-E\delta \,{\vec {k}}.\end{array}}$

Obtenemos la ecuación

$F_{0}d-mgd-E\delta =0\qquad (3)$

Tenemos tres incógnitas: $\{E,E_{R},\delta \}$ para tres ecuaciones. Resolviendo el sistema obtenemos

${\begin{array}{l}{\vec {E}}={\dfrac {3}{5}}F_{0}\,{\vec {\imath }},\\\\{\vec {E}}_{R}=\left(mg-{\dfrac {4}{5}}F_{0}\right)\,{\vec {\imath }},\\\\\delta ={\dfrac {5}{3}}\,\left(1-{\dfrac {mg}{F_{0}}}\right)\,d.\end{array}}$

Análisis del deslizamiento

Para que no deslice debe cumplirse

$|{\vec {E}}_{R}|\leq \mu |{\vec {E}}|\Longrightarrow \left|mg-{\dfrac {4}{5}}F_{0}\right|\leq {\dfrac {3}{5}}F_{0}\Longrightarrow |5mg-4F_{0}|\leq 3F_{0}.$

Hemos usado que $\mu =1$. Tenemos que considerar dos posibles situaciones:

$5mg>4F_{0}$

Entonces se tiene $|5mg-4F_{0}|=5mg-4F_{0}$ y la condición queda

$5mg-4F_{0}\leq 3F_{0}\Longrightarrow F_{0}\geq 5mg/7.$

En este caso la fuerza de rozamiento apunta hacia arriba e impide que la placa deslice hacia abajo.

$5mg<4F_{0}$

Entonces se tiene $|5mg-4F_{0}|=4F_{0}-5mg$ y la condición queda

$4F_{0}-5mg\leq 3F_{0}\Longrightarrow F_{0}\leq 5mg.$

En este caso la fuerza de rozamiento apunta hacia abajo e impide que la placa deslice hacia arriba.

Resumiendo las dos condiciones, para que no haya deslizamiento debe ocurrir

$F_{0}\in \left[{\dfrac {5}{7}}mg,5mg\right]=[0.714mg,5mg]$

Análisis del vuelco

Para que la placa no vuelque debe ocurrir que

$-d\leq \delta \leq d.$

La condición de la izquierda es

${\dfrac {5}{3}}\,\left(1-{\dfrac {mg}{F_{0}}}\right)\,d\geq -d\to 5-{\dfrac {5mg}{F_{0}}}\geq -3\to 8\geq {\dfrac {5mg}{F_{0}}}\to F_{0}\geq {\dfrac {5}{8}}mg.$

La condición de la derecha es

${\dfrac {5}{3}}\,\left(1-{\dfrac {mg}{F_{0}}}\right)\,d\leq d\to 5-{\dfrac {5mg}{F_{0}}}\leq 3\to 2\leq {\dfrac {5mg}{F_{0}}}\to F_{0}\leq {\dfrac {5}{2}}mg.$

Es decir, para que no vuelque debe ocurrir

$F_{0}\in \left[{\dfrac {5}{8}}mg,{\dfrac {5}{2}}mg\right]=[0.625mg,2.5mg]$

Condición para que ni vuelque ni deslice

Para que ocurra esto deben cumplirse a la vez las condiciones de no deslizamiento y no vuelco. La figura de la derecha muestra los intervalos de valores de $F_{0}/mg$ para los que hay equilibrio frente a vuelco. Para que se cumplan las dos cosas a la vez debe ocurrir

$F_{0}\in [0.714mg,2.5mg]$