Enunciado
Una varilla delgada (sólido "2") de masa
m
{\displaystyle m}
y longitud
2
b
{\displaystyle 2b}
está articulada
en un pasador (punto
A
{\displaystyle A}
) que desliza sobre el eje fijo
O
Y
1
{\displaystyle OY_{1}}
.
Calcula la reducción cinemática en el punto
A
{\displaystyle A}
del movimiento {21}.
Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial.
Cuando la varilla se encuentra en reposo y con
x
=
0
{\displaystyle x=0}
y
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
, se aplica en el punto
C
{\displaystyle C}
una percusión
F
^
→
=
F
^
0
(
−
ı
→
1
+
ȷ
→
1
)
{\displaystyle {\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})}
, con
F
^
0
>
0
{\displaystyle {\hat {F}}_{0}>0}
. Determina el movimiento de la varilla justo después de la percusión así como el valor de la percusión vincular en
A
{\displaystyle A}
.
Discute el movimiento del punto
A
{\displaystyle A}
en función del valor de
s
{\displaystyle s}
. ¿Donde está el centro de percusión de
A
{\displaystyle A}
?
Solución
Reducción cinemática
La reducción cinemática en el punto
A
{\displaystyle A}
es
ω
→
21
=
θ
˙
k
→
1
,
v
→
21
A
=
x
˙
ȷ
→
1
{\displaystyle {\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}}
El sólido tiene dos grados de libertad:
{
x
,
θ
}
{\displaystyle \{x,\theta \}}
.
Energía cinética y potencial
Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas del sólido
T
=
T
T
+
T
R
{\displaystyle T=T_{T}+T_{R}}
La energía cinética de traslación es
T
T
=
1
2
m
|
v
→
21
G
|
2
{\displaystyle T_{T}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}}
La velocidad del centro de masas es
v
→
21
G
=
v
→
21
A
+
ω
→
21
×
A
G
→
=
−
b
θ
˙
s
e
n
θ
ı
→
1
+
(
x
˙
+
b
θ
˙
cos
θ
)
ȷ
→
1
v
→
21
A
=
x
˙
ȷ
→
1
ω
→
21
×
A
G
→
=
(
θ
˙
k
→
1
)
×
(
b
cos
θ
ı
→
1
+
b
s
e
n
θ
ȷ
→
1
)
=
−
b
θ
˙
s
e
n
θ
ı
→
1
+
b
θ
˙
cos
θ
ȷ
→
1
{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,G}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=-b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+({\dot {x}}+b{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times (b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})=-b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}}
Por tanto, la energía cinética de traslación es
T
T
=
1
2
m
(
x
˙
2
+
b
2
θ
˙
2
+
2
b
x
˙
θ
˙
cos
θ
)
{\displaystyle T_{T}={\dfrac {1}{2}}m\,({\dot {x}}^{2}+b^{2}{\dot {\theta }}^{2}+2b{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta )}
La energía cinética de rotación es
T
R
=
1
2
I
G
|
ω
→
21
|
2
=
1
2
1
12
m
(
2
b
)
2
θ
˙
2
{\displaystyle T_{R}={\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}={\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {1}{12}}m(2b)^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}}
La energía cinética total es
T
=
1
2
m
x
˙
2
+
2
3
m
b
2
θ
˙
2
+
m
b
x
˙
θ
˙
cos
θ
.
{\displaystyle T={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {2}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mb{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta .}
La única fuerza conservartiva en el problema es la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del punto
O
{\displaystyle O}
tenemos
U
=
U
g
=
−
m
g
b
cos
θ
.
{\displaystyle U=U_{g}=-mgb\cos \theta .}
Percusión
La velocidad del punto
C
{\displaystyle C}
es
v
→
21
C
=
v
→
21
A
+
ω
→
21
×
A
C
→
=
−
s
θ
˙
s
e
n
θ
+
(
x
˙
+
s
θ
˙
cos
θ
)
ȷ
→
1
v
→
21
A
=
x
˙
ȷ
→
1
ω
→
21
×
A
C
→
=
(
θ
˙
k
→
1
)
×
(
s
cos
θ
ı
→
1
+
s
s
e
n
θ
ȷ
→
1
)
=
−
s
θ
˙
s
e
n
θ
ı
→
1
+
s
θ
˙
cos
θ
ȷ
→
1
{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,C}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}=-s{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +({\dot {x}}+s{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times (s\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})=-s{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}}
La función de Lagrange es
L
=
T
−
U
=
1
2
m
x
˙
2
+
2
3
m
b
2
θ
˙
2
+
m
b
x
˙
θ
˙
cos
θ
+
m
g
b
cos
θ
{\displaystyle L=T-U={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {2}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mb{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +mgb\cos \theta }
Como hay dos grados de libertad, tendremos dos ecuaciones de Lagrange percusivas
Δ
p
x
=
Q
^
x
N
C
,
Δ
p
θ
=
Q
^
θ
N
C
.
{\displaystyle \Delta p_{x}={\hat {Q}}_{x}^{NC},\qquad \Delta p_{\theta }={\hat {Q}}_{\theta }^{NC}.}
Para la primera tenemos
p
x
=
∂
L
∂
x
˙
=
m
x
˙
+
m
b
θ
˙
cos
θ
⟹
Δ
p
x
=
(
m
Δ
x
˙
+
m
b
Δ
θ
˙
cos
θ
)
|
x
=
0
,
θ
=
0
=
m
Δ
x
˙
+
m
b
Δ
θ
˙
.
{\displaystyle p_{x}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}+mb{\dot {\theta }}\cos \theta \Longrightarrow \Delta p_{x}=\left.(m\Delta {\dot {x}}+mb\Delta {\dot {\theta }}\cos \theta )\right|_{x=0,\theta =0}=m\Delta {\dot {x}}+mb\Delta {\dot {\theta }}.}
La percusión generalizada para la coordenada
x
{\displaystyle x}
es
Q
^
x
N
C
=
F
^
→
⋅
∂
v
→
21
C
∂
x
˙
=
F
^
0
(
−
ı
→
1
+
ȷ
→
1
)
⋅
(
ȷ
→
1
)
|
x
=
0
,
θ
=
0
=
F
^
0
{\displaystyle {\hat {Q}}_{x}^{NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{\partial {\dot {x}}}}=\left.{\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\cdot ({\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}={\hat {F}}_{0}}
Obtenemos así la ecuación
Δ
x
˙
+
b
Δ
θ
˙
=
F
^
0
/
m
(
1
)
{\displaystyle \Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }}={\hat {F}}_{0}/m\qquad (1)}
Procedemos de manera similar para
θ
{\displaystyle \theta }
p
θ
=
∂
L
∂
θ
˙
=
4
3
m
b
2
θ
˙
+
m
b
x
˙
cos
θ
⟹
Δ
p
θ
=
(
4
3
m
b
2
Δ
θ
˙
+
m
b
Δ
x
˙
cos
θ
)
|
x
=
0
,
θ
=
0
=
4
3
m
b
2
Δ
θ
˙
+
m
b
Δ
x
˙
.
{\displaystyle p_{\theta }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\dfrac {4}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}+mb{\dot {x}}\cos \theta \Longrightarrow \Delta p_{\theta }=\left.({\dfrac {4}{3}}mb^{2}\Delta {\dot {\theta }}+mb\Delta {\dot {x}}\cos \theta )\right|_{x=0,\theta =0}={\dfrac {4}{3}}mb^{2}\Delta {\dot {\theta }}+mb\Delta {\dot {x}}.}
La percusión generalizada para la coordenada
θ
{\displaystyle \theta }
es
Q
^
θ
N
C
=
F
^
→
⋅
∂
v
→
21
C
∂
θ
˙
=
F
^
0
(
−
ı
→
1
+
ȷ
→
1
)
⋅
(
−
s
s
e
n
θ
ı
→
1
+
s
cos
θ
ȷ
→
1
)
|
x
=
0
,
θ
=
0
=
F
^
0
s
{\displaystyle {\hat {Q}}_{\theta }^{NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\left.{\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\cdot (-s\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s\cos \theta {\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}={\hat {F}}_{0}s}
Obtenemos así la ecuación
3
Δ
x
˙
+
4
b
Δ
θ
˙
=
3
F
^
0
s
m
b
(
2
)
{\displaystyle 3\Delta {\dot {x}}+4b\Delta {\dot {\theta }}={\dfrac {3{\hat {F}}_{0}s}{mb}}\qquad (2)}
Resolviendo para
Δ
x
˙
{\displaystyle \Delta {\dot {x}}}
y
Δ
θ
˙
{\displaystyle \Delta {\dot {\theta }}}
obtenemos
Δ
x
˙
=
F
^
0
m
b
(
4
b
−
3
s
)
,
Δ
θ
˙
=
−
3
F
^
0
m
b
2
(
b
−
s
)
{\displaystyle \Delta {\dot {x}}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s),\qquad \Delta {\dot {\theta }}=-{\dfrac {3{\hat {F}}_{0}}{mb^{2}}}\,(b-s)}
Como la barra parte del reposo:
x
˙
−
=
θ
˙
−
=
0
{\displaystyle {\dot {x}}^{-}={\dot {\theta }}^{-}=0}
. Por tanto
x
˙
+
=
F
^
0
m
b
(
4
b
−
3
s
)
,
θ
˙
+
=
−
3
F
^
0
m
b
2
(
b
−
s
)
{\displaystyle {\dot {x}}^{+}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s),\qquad {\dot {\theta }}^{+}=-{\dfrac {3{\hat {F}}_{0}}{mb^{2}}}\,(b-s)}
La figura de la derecha muestra las percusiones que actúan sobre la barra, a saber, la percusión libre
F
^
→
{\displaystyle {\vec {\hat {F}}}}
y la percusión vincular
A
^
→
{\displaystyle {\vec {\hat {A}}}}
. Aplicando el T.C.M Percusivo tenemos
Δ
C
→
=
F
^
→
+
A
^
→
⟹
A
^
→
=
Δ
C
→
−
F
^
→
{\displaystyle \Delta {\vec {C}}={\vec {\hat {F}}}+{\vec {\hat {A}}}\Longrightarrow {\vec {\hat {A}}}=\Delta {\vec {C}}-{\vec {\hat {F}}}}
La variación de la cantidad de movimiento es
Δ
C
→
=
m
Δ
v
→
21
G
=
(
−
b
Δ
θ
˙
s
e
n
θ
ı
→
1
+
(
Δ
x
˙
+
b
Δ
θ
˙
cos
θ
)
ȷ
→
1
)
|
x
=
0
,
θ
=
0
=
(
Δ
x
˙
+
b
Δ
θ
˙
)
ȷ
→
1
.
{\displaystyle \Delta {\vec {C}}=m\Delta {\vec {v}}_{21}^{\,G}=\left.(-b\Delta {\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+(\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}=(\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }})\,{\vec {\jmath }}_{1}.}
Utilizando la solución calculada antes tenemos
A
^
→
=
F
^
0
ı
→
1
{\displaystyle {\vec {\hat {A}}}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}}
Movimiento de
A
{\displaystyle A}
en función de
s
{\displaystyle s}
La velocidad de
A
{\displaystyle A}
justo después de la percusión es
v
→
21
A
+
=
x
˙
+
ȷ
→
1
=
F
^
0
m
b
(
4
b
−
3
s
)
ȷ
→
1
{\displaystyle {\vec {v}}_{21}^{\,A+}={\dot {x}}^{+}\,{\vec {\jmath }}_{1}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s)\,{\vec {\jmath }}_{1}}
Vemos que si
s
=
s
p
=
4
b
/
3
{\displaystyle s=s_{p}=4b/3}
esta velocidad es nula. Ese valor de
s
{\displaystyle s}
indica la posición del centro de percusión de
A
{\displaystyle A}
. Si
s
<
s
p
{\displaystyle s<s_{p}}
(la parte de arriba de la barra) el punto
A
{\displaystyle A}
se mueve hacia la derecha. Si
s
>
s
p
{\displaystyle s>s_{p}}
(la parte de abajo de la barra) el punto
A
{\displaystyle A}
se mueve hacia la izquierda.