Percusión sobre una barra apoyada

De Laplace

1 Enunciado

Una barra de longitud $\ell=100\,\mathrm{cm}$ y masa $m=1.2\,\mathrm{kg}$ se encuentra apoyada en un suelo y una pared lisos. En un cierto instante se encuentra en reposo, estando su extremo superior a una altura de $60\,\mathrm{cm}$ . Justo en ese instante experimenta una percusión $\vec{P}_Q=-10\vec{\imath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}$ en un punto Q a una altura de $40\,\mathrm{cm}$ .

¿Cuánto vale la velocidad angular de la barra inmediatamente después de la percusión?
¿Cuánto valen las percusiones de reacción en los puntos A, de apoyo en el suelo, y B, de contacto con la pared?

2 Solución

El problema se resuelve empleando el teorema de la cantidad de movimiento y el del momento cinético para la dinámica impulsiva. El TCM es, en este caso

$m\left(\vec{v}^{G+}_{21}-\vec{v}^{G-}_{21}\right)=\vec{P}_Q+\vec{P}_A+\vec{P}_B$

Inicialmente la velocidad es nula. Después, el movimiento de G sigue un arco de circunferencia, ya que la posición de G cumple, en todo momento

$\overrightarrow{OG}=\frac{\ell}{2}S\vec{\imath}+\frac{\ell}{2}C\vec{\jmath}$

siendo θ el ángulo que la barra forma con la vertical y $S = sen(θ)$ , $C = cos(θ)$ .

Derivamos aquí y resulta

$\vec{v}^{G+}_{21}=\frac{\ell}{2}\left(C\vec{\imath}-S\vec{\jmath}\right)\dot{\theta}^+$

Separando en componentes, el TCM nos da:

$\begin{array}{rcl} m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^+&=&-P_Q+P_B\\ && \\ -m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+&=&P_A \end{array}$

Aquí tenemos dos ecuaciones pero tres incógnitas ( $\dot{\theta}^+$ , $P A$ y $P B$ ) Por otro lado, tenemos el teorema del momento cinético

$I\left(\dot{\theta}^+ - \dot{\theta}^-\right)\vec{k}= \overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A+\overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B+\overrightarrow{GQ}\times\vec{P}_Q$

Estos tres momentos valen, cada uno, el producto de la percusión por la distancia a la recta soporte, con un sentido dado por la regla de la mano derecha

$\overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A=\frac{\ell}{2}SP_A\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B=-\frac{\ell}{2}CP_B\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{GQ}\times\vec{P}_Q=\left(h-\frac{\ell}{2}C\right)P_Q\vec{k}$

lo que nos da la tercera ecuación

$\frac{1}{12}m\ell^2\dot{\theta}^+=\frac{\ell}{2}SP_A-\frac{\ell}{2}CP_B+\left(h-\frac{\ell}{2}C\right)P_Q$

Eliminamos $P A$ y $P B$ despejando del TCM

$P_A=-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+\qquad\qquad P_B=m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^++P_Q$

y queda, al sustituir

$\frac{1}{12}m\ell^2\dot{\theta}^+=\frac{\ell}{2}S\left(-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+\right)-\frac{\ell}{2}C\left(m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^++P_Q\right)+\left(h-\frac{\ell}{2}C\right)P_Q = -m\frac{\ell^2}{4}\dot{\theta}^+-(\ell C-h)P_Q$

es decir

$\frac{1}{3}m\ell^2 \dot{\theta}^+=-(\ell C-h)P_Q$

y, por tanto,

$\dot{\theta}^+=-\frac{3(\ell C-h)P_Q}{m\ell^2}$

siendo su valor numérico

$\dot{\theta}^+=-\frac{3(0.60-0.40)10}{1.2}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

Una vez que tenemos la velocidad angular, hallamos las percusiones de reacción

$P_A=-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+=\frac{3(\ell C-h)SP_Q}{2\ell}=1.2\frac{1}{2}\,\frac{4}{5}5\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}=2.4\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}$

y