Pulso en una cuerda (G.I.A.)

Enunciado

Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

y={\frac {1}{a\,x^{2}-b\,tx+c\,t^{2}+d}}

donde x e y se miden en centímetros y t en segundos.

Determina las relaciones que deben cumplirse entre los parámetros $a$ , $b$ , $c$ y $d$ para que esta función represente una onda viajera.
Demuestra que esta señal cumple la ecuación de onda si se cumplen las relaciones anteriores
Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en x = 15 cm, en (a) t = 0 s, (b) t = 0.5 s, (c) t = 1 s.

Solución

Relación entre los coeficientes

Para que sea una onda viajera la dependencia del pulso en $x$ y $t$ no puede ser cualquiera. Tiene que ocurrir que

$y(x,t)=f(x\pm vt)$

siendo $v$ una constante positiva que no dependa de $x$ ni de $t$ .

Observando la función vemos que el denominador tiene una estructura similar a la que se obtiene del desarrollo de un binomio. Basándonos en ello, buscamos escribir la función del modo

$y(x,y)={\dfrac {y_{0}}{a'\,(x-vt)^{2}+d'}}$

donde $a'$ , $v$ y $d'$ son tres constantes que tenemos que determinar en función de los coeficientes originales $a$ , $b$ , $c$ y $d$ . Para ello desarrollamos el denominador de la función

$a'\,(x-vt)^{2}+d'=a'\,x^{2}-2\,a'v\,x\,t+a'\,v^{2}\,t^{2}+d'=a\,x^{2}-b\,x\,t+c\,t^{2}+d$

Igualando los factores que multiplican a los términos de estructura similar tenemos

${\begin{array}{l}a'=a\\\\2\,a'\,v=b\\\\a'\,v^{2}=c\\\\d'=d\end{array}}$

La primera y la última de estas ecuaciones nos dan los valores de $a'$ y $d'$ . De las otras dos obtenemos

${\begin{array}{lcl}2\,a'\,v=b&\Rightarrow &v={\dfrac {b}{2a}}\\&&\\a'\,v^{2}=c&\Rightarrow &v^{2}={\dfrac {c}{a}}\end{array}}$

Para que estas dos expresiones se cumplan a la vez debe ocurrir que

b^{2}=4ac

Esta es la relación que debe existir entre las constantes originales. Si se cumple, el pulso es una onda viajera que se escribe

$y(x,t)={\dfrac {y_{0}}{a\,(x-vt)^{2}+d}}$

con la velocidad dada por

v={\dfrac {b}{2a}}

Ecuación de onda lineal

La ecuación de onda lineal se escribe

${\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\dfrac {1}{v^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}$

Vamos a demostrar que, una vez que se cumple la relación entre coeficientes, la función cumple esta ecuación. La escribimos así

$y(x,t)=f[\eta (x,t)]={\dfrac {y_{0}}{a\,\eta ^{2}+d}}\qquad \qquad \eta (x,t)=x-vt$

Calculamos las derivadas usando la regla de la cadena. La derivada parcial respecto a $x$ es

${\dfrac {\partial y}{\partial x}}={\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}{\dfrac {\partial \eta }{\partial x}}={\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}\times 1={\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}$

La segunda derivada es

${\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \eta }}\left({\dfrac {\partial y}{\partial x}}\right){\dfrac {\partial \eta }{\partial x}}={\dfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} \eta ^{2}}}\times 1={\dfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} \eta ^{2}}}$

La primera derivada parcial respecto al tiempo es

${\dfrac {\partial y}{\partial t}}={\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}{\dfrac {\partial \eta }{\partial t}}={\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}\times (-v)=-v{\dfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}$

Derivando otra vez

${\dfrac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \eta }}\left({\dfrac {\partial y}{\partial t}}\right){\dfrac {\partial \eta }{\partial x}}=-v{\dfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} \eta ^{2}}}\times (-v)=v^{2}{\dfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} \eta ^{2}}}$

Despejando $\mathrm {d} ^{2}f/\mathrm {d} ^{2}\eta$ en las dos expresiones e igualándolas vemos que se cumple la función de onda.

Otra forma de resolver el primer apartado es obligar a la función original, con los cuatro parámetros $a$ , $b$ , $c$ y $d$ a cumplir la ecuación de onda. Se puede ver que para que esto ocurra es necesario que se cumpla la relación $b^{2}=4\,a\,c$ .