Características de una onda en una cuerda

Enunciado

Una cuerda de masa 0.200 kg y 4.00 m de longitud se conecta a un diapasón que oscila con una frecuencia de 20.0 Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1.00 cm. La onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de 10.0 cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda se duplique?

Solución

A partir de la masa y la longitud de la cuerda su densidad lineal de masa es

$\mu ={\dfrac {M}{L}}=0.0500\mathrm {kg/m}$

La velocidad de la onda en la cuerda es

$v={\sqrt {\dfrac {F_{T}}{\mu }}}$

siendo $F_{T}$ la tensión en la cuerda. Por otro lado, como la onda es sinusoidal la velocidad puede escribirse también

$v=\lambda \,f$

siendo $\lambda$ la longitud de onda y $f$ la frecuencia, que es la del diapasón. Así pues, la velocidad de la onda es

$v=\lambda \,f=2.00\,\mathrm {m/s}$

y la tensión es

$F_{T}=\mu \,v^{2}=0.200\,\mathrm {N}$

Queremos que la longitud de onda se duplique variando únicamente la tensión. Escribimos la longitud de onda directamente en función de la tensión

$\lambda ={\dfrac {v}{f}}={\dfrac {1}{f}}{\sqrt {\dfrac {F_{T}}{\mu }}}\Rightarrow F_{T}=\mu \,f^{2}\,\lambda ^{2}$

Si queremos que la nueva longitud de onda $\lambda '$ sea el doble de la anterior tendremos

$F_{T}'=\mu \,f^{2}\,\lambda '^{2}=4\mu \,f^{2}\,\lambda ^{2}=4\,F_{T}$