Barra rotando con muelle horizontal (MRGIC)

Enunciado

Barra rotando con muelle horizontal

El mecanismo de la figura está formado por una varilla delgada $OA$ (sólido "2"), de masa $m$ y longitud $L$, y un resorte ideal de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula. El extremo $O$ de la varilla está unido mediante una rótula ideal al origen de un sistema de referencia fijo $OX_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido "1"). El otro extremo $A$ de la varilla está conectado mediante el resorte a un pasador $C$ de masa despreciable que puede deslizar libremente y sin rozamiento por el eje vertical $OZ_{1}$. En todo momento la orientación del eje del resorte es perpendicular a $OZ_{1}$. Se aplica un par motor externo ${\vec {\tau }}=\tau \,{\vec {k}}_{0}$ al sólido "2" que le obliga a rotar con velocidad angular ${\dot {\phi }}=\omega _{0}$ constante.

1. Obtén el valor de una integral primera del movimiento.
2. Obtén el valor del par motor necesario para que se verifique el vínculo.

Solución

Integral primera en el movimiento descrito

Reutilizando los cálculos que hicimos en barra articulada rotando en el espacio, la reducción cinemática del movimiento absoluto de la barra es

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,O}={\vec {0}}.$

Su energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}I\,({\dot {\phi }}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2}).\qquad (I=mL^{2}/3)$

El problema libre tiene dos grados de libertad $\{\phi ,\theta \}$. Sin embargo, en este caso la rotación asociada a $\phi$ está fijada por el vínculo cinemático

${\dot {\phi }}=\omega _{0}.$

Aplicando el vínculo, la energía cinética es

$T={\dfrac {1}{2}}I\,(\omega _{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2}).$

En este caso hay dos interacciones conservativas actuando sobre el muelle: la gravedad y el muelle. Podemos asociar una energía potencial a cada una de ellas. Tomando como referencia de altura para la energía potencial gravitatoria la del plano fijo $OX_{1}Y_{1}$ tenemos

${\begin{array}{l}U_{g}=-m{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {OG}}={\dfrac {1}{2}}mgL\cos \theta ,\\U_{m}={\dfrac {1}{2}}k|{\overrightarrow {CA}}|^{2}={\dfrac {1}{2}}kL^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .\end{array}}$

Hemos usado que el muelle tiene longitud natural nula.

La función de Lagrange es

$L=T-(U_{g}+U_{m})={\dfrac {1}{2}}I\,(\omega _{0}^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +{\dot {\theta }}^{2})-{\dfrac {1}{2}}mgL\cos \theta -{\dfrac {1}{2}}kL^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}\theta .$