Enunciado

El sistema de la figura representa un modelo muy simple de triciclo. Está formado por una barra homogénea (sólido "2", masa , longitud , centro de masas ) contenida en el plano horizontal y obligada a moverse de modo que su extremo tiene una velocidad apuntando a , mientras que la velocidad de se mantiene siempre paralela al eje . Se propone trabajar con las coordenadas generalizadas indicadas en la figura.

  1. Demuestra que las condiciones de movimiento implican las siguientes ecuaciones de ligadura para los puntos y : , donde son constantes a determinar.
  2. Desarrolla las ecuaciones de Lagrange con ligaduras correspondientes al sistema mecánico.
  3. Calcula los valores de las fuerzas vinculares responsables de las ligaduras del primer apartado en función de los multiplicadores de Lagrange del problema.


Solución

Reducción cinemática

El vector rotación es

La velocidad en el centro de masas es

Ligaduras

La ligadura en el punto implica que la velocidad tiene que ser paralela al vector . Este vector es

Usando el teorema de Chasles a partir de la velocidad en es

donde hemos usado .

Por tanto la ligadura puede aplicarse exigiendo que

Esta es una ligadura cinemática no integragble, es decir, es no holónoma.

La ligadura en implica que

Usando el teorema de Chasles desde tenemos

donde hemos usado .

Entonces

Esta ligadura es cinemática integrable, es decir es holónoma.

Como hay dos ligaduras y es un movimiento plano, el sistema tiene sólo un grado de libertad. Lo que es curioso en este problema es, que aunque la ligadura en es, por si sola, no holónoma, combinada con la ligadura en sí que se puede integrar. Es decir el problema es holónomo. Sin embargo, esta integración es complicada. Por ello, aunque el sistema puede tiene sólo un grado de libertad, vamos a trabajar con las tres coordenadas . Usaremos multiplicadores de Lagrange para poder utlizar las dos coordenadas extras respecto al número de grados de libertad.

Es importante trabajar con la expresión completa de , es decir, no imponer que la componente en es cero. Esto se debe a que hay que hacer las derivadas que se hacen a continuación antes de imponer la ligadura.

Función de Lagrange

Energía cinética

Modelando el triciclo como una barra de longitud y masa , su energía cinética es

El peso no afecta en este problema, pues el centro de masas del triciclo no cambia de altura. Por tanto podemos escoger como energía potencial

La función de Lagrange es

Ecuaciones de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange

Por cada vínculo hay que añadir un multiplicador de Lagrange. Tenemos

Ecuaciones

Tenemos una ecuación de Lagrange por cada coordenada.

Los términos de la derecha son las contribuciones a las fuerzas generalizadas de los multiplicadores de Lagrange.

Las derivadas parciales que introducen los multiplicadores de Lagrange se hacen respecto a la velocidad porque los vínculos son cinemáticos.

Las ecuaciones resultantes son

Tenemos 5 incógnitas . Las dos ecuaciones que faltan son los propios vínculos

Resolución usando el Principio de liberación

De nuevo vamos a trabajar con las tres coordenadas aunque sólo haya un grado de libertad. Por cada vínculo liberado hay que añadir una reacción vincular. El vínculo en implica que el punto no puede moverse dirección perpendicular al vector . Por tanto, la fuerza víncular que hay que añadir, es perpendicular a . El vínculo en prohíbe que este punto se mueva en la dirección del eje . Es decir, la fuerza vincular debe ser paralela al eje , en la dirección del movimiento prohibido. La figura de la derecha muestra las fuerzas vinculares. Tenemos

Ahora las ecuaciones de Lagrange incluyen la contribución de las fuerza vínculares y . Tenemos

El lado izquierdo de estas ecuaciones es igual que el que hemos calculado antes. Lo que cambia son los lados derechos. Para tenemos

Para tenemos

Para tenemos

Así pues, las ecuaciones de Lagrange quedan

Las incógintas son . Las dos ecuaciones que faltan son los propios vínculos (y sus derivadas, si hacen falta)

Identificación de los multiplicadores de Lagrange

Podemos identificar el significado físico de los multiplicadores de Lagrange comparando las ecuaciones (1), (2), (3) con las ecuaciones (6), (7), (8). Vemos que

Es decir, los multiplicadores son componentes de fuerza. Eso se debe a que los vínculos provienen de restricciones a desplazamientos. Si el vínculo implica una restricción a una rotación, el multiplicador correspondiente será una componente de momento de fuerza. El signo de la componente depende de como definamos el vínculo. Así, si el vínculo en lo definimos como , saldría .

Otra forma de identificar los multiplicadores es comparar las expresiones de la potencia transmitida al sólido por las fuerzas vinculares y los multiplicadores de Lagrange. La potencia vectorial sería

La potencia que transmiten las fuerzas generalizadas correspondientes a los multiplicadores de Lagrange es

Comparando con la expresión de la potencia vectorial, los paréntesis que multiplican a las velocidades generalizadas deben ser iguales, de donde obtenemos de nuevo