Potencia y energía en una onda

Introducción

Una onda suele definirse en términos como una “transmisión de energía sin transmisión de materia”. Esta definición, aunque un tanto imprecisa y no lo bastante general (ya que no incluye, por ejemplo, a las ondas estacionarias), sí expresa un hecho cierto: una onda viajera transmite energía desde el punto en que se origina hasta el punto al que llega, actuando como mecanismo para la “acción a distancia”.

Un cierto agente desarrolla una potencia al emitir una onda (sea ésta en una cuerda, de sonido, electromagnética o de otro tipo), esta potencia se manifiesta en una cierta densidad de energía que se propaga a lo largo de la onda y es entregada en el punto de destino a través de la potencia desarrollada por el propio medio de propagación (por ejemplo, la fuerza que ejerce una cuerda sobre un sistema situado en su extremo final.

Esta propagación es simultánea al almacenamiento de energía. La energía se propaga gracias a que en todo momento hay una cierta energía almacenada a lo largo del medio. En particular, en las ondas estacionarias tenemos almacenamiento de energía sin propagación.

A continuación nos centraremos en el caso particular de la cuerda tensa, con especial atención a las ondas sinusoidales, aunque muchos de los resultados son generalizables a otros tipos de ondas.

Energía almacenada

Energía cinética

La energía cinética almacenada en un instante dado en una longitud dada de la cuerda es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas que la forman.

Si dividimos la cuerda en porciones de longitud $\mathrm {d} x$, la masa de cada porción es

$\mathrm {d} m=\mu \,\mathrm {d} x$

con $\mu$ la densidad lineal de masa. La energía cinética de esta pedazo será

$\mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mathrm {d} m\,v^{2}={\frac {1}{2}}\mu \,\mathrm {d} x\left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)^{2}$

Integrando obtenemos la energía cinética almacenada en una porción de cuerda

$K={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\mu \left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x$

Onda viajera sinusoidal

Aplicando la ecuación anterior a una longitud de onda de una onda viajera

$y=A\cos(\omega t-kx)\,$

obtenemos la energía cinética de una porción de cuerda

$\mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mu A^{2}\omega ^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\omega t-kx)\,\mathrm {d} x$

y la integral sobre una longitud de onda

$K=\int _{0}^{\lambda }\mathrm {d} K={\frac {1}{2}}\mu A^{2}\omega ^{2}\int _{0}^{\lambda }\mathrm {sen} ^{2}(\omega t-kx)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{4}}\mu A^{2}\omega ^{2}\int _{0}^{\lambda }(1-\cos(2\omega t-2kx))\,\mathrm {d} x$

donde hemos usado la fórmula del ángulo doble

$\mathrm {sen} ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$

Resultan dos integrales, la primera de las cuales vale simplemente $\lambda$, mientras que la segunda es una integral de $\cos(s)$ sobre dos periodos, por lo que se anula. Por tanto

$K={\frac {1}{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda$

Lo más importante de este resultado es que resulta una función cuadrática en la amplitud, esto es, a doble amplitud corresponde cuádruple energía.

Una cantidad derivada de esta es la densidad de energía cinética, obtenida suponiendo que la energía cinética se reparte uniformemente sobre la longitud de onda (lo cual es cierto solo en promedio).

${\frac {K}{\lambda }}={\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}A^{2}$

Esta densidad de energía no solo es cuadrática en en la amplitud, sino también la frecuencia.

Onda estacionaria sinusoidal

De forma análoga se calcula la energía cinética de la onda estacionaria

$y=A\cos(\omega t)\cos(kx)\,$

y resulta

$K={\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}A^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)\int _{0}^{\lambda }\cos ^{2}(kx)\,\mathrm {d} x={\frac {\lambda }{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)$

A diferencia del caso de la onda viajera, para el cual la energía cinética permanece constante en el tiempo, en la onda estacionaria resulta una cantidad oscilante. La razón es que para una onda viajera en una longitud de onda hay en todo momento puntos con velocidad máxima y puntos en reposo, y todas las posibilidades intermedias. En una onda estacionaria todos los puntos oscilan al unísono de forma que en un instante todos tienen la velocidad máxima (y la energía cinética es máxima), y en otro están todos en reposo (y la energía cinética es nula).

Onda triangular

Consideremos ahora el caso de un pulso triangular

$y=f(x-vt)\qquad f(s)={\begin{cases}0&s<-a\\h(a+s)/a&-a<s<0\\h(a-s)/a&0<s<a\\0&s>a\end{cases}}$

y vamos a calcular la energía almacenada en toda la longitud de la onda (desde $-\infty$ hasta $+\infty$)

La velocidad de cada punto es

${\frac {\partial y}{\partial t}}=-vf'(s)={\begin{cases}0&s<-a\\-vh/a&-a<s<0\\vh/a&0<s<a\\0&s>a\end{cases}}$

y la energía cinética

$K={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)^{2}\mathrm {d} x$

haciendo el cambio de variable $s=x-vt$ y separando la integral en cuatro tramos queda

$K={\frac {\mu }{2}}\left(\int _{-\infty }^{-a}0\,\mathrm {d} s+\int _{-a}^{0}{\frac {h^{2}v^{2}}{a^{2}}}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{a}{\frac {h^{2}v^{2}}{a^{2}}}\,\mathrm {d} s+\int _{a}^{\infty }0\,\mathrm {d} s\right)=\mu {\frac {h^{2}v^{2}}{a}}$

Energía potencial

Una onda también almacena energía potencial ya que al deformarse se estira, almacenando energía elástica.

La energía potencial almacenada entre los puntos $x$ y $x+dx$ es el trabajo realizado al aumentar la longitud de un trozo de $\mathrm {d} x$ a $\mathrm {d} s$

$\mathrm {d} U=F_{T}(\mathrm {d} s-\mathrm {d} x)=F_{T}\left({\sqrt {(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}}-\mathrm {d} x\right)\,$

donde hemos aplicado el teorema de Pitágoras para expresar $\mathrm {d} s$.

Si la deformación es pequeña, $\mathrm {d} s$ y $\mathrm {d} x$ son cantidades muy próximas, por lo que la expresión de arriba tiende a cero. Para evitar quedarnos sin nada, multiplicamos arriba y abajo por $\mathrm {d} s+\mathrm {d} x$ y nos queda

$\mathrm {d} U=F_{T}{\frac {(\mathrm {d} s)^{2}-(\mathrm {d} x)^{2}}{\mathrm {d} s+\mathrm {d} x}}\simeq F_{T}{\frac {(\mathrm {d} y)^{2}}{2\mathrm {d} x}}$

La variación de $y$ la da la derivada

$\mathrm {d} y=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x$

lo que nos da el diferencial de energía potencial

$\mathrm {d} U={\frac {1}{2}}F_{T}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)^{2}\mathrm {d} x$

y la energía potencial contenida en una una cierta longitud de cuerda

$U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}F_{T}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)^{2}\mathrm {d} x$

Caso de una onda viajera

En el caso de una onda puramente viajera (no una onda estacionaria, ni una suma de ondas propagándose en los dos sentidos), se cumple que

${\frac {\partial y}{\partial x}}=\pm v{\frac {\partial y}{\partial t}}$

por lo que esta energía potencial es igual a

$U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}F_{T}v^{2}\left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)^{2}\mathrm {d} x$

pero

$F_{T}v^{2}=\mu \,$ ⇒  $U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\mu \left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)^{2}\mathrm {d} x=K$

esto es, para una onda puramente viajera, su energía cinética y su energía potencial son iguales. Esto no ocurre en el caso general.

Onda viajera sinusoidal

La energía potencial almacenada en una longitud de onda de la onda viajera

$y=A\cos(\omega t-kx)\,$

es

$U={\frac {1}{2}}F_{T}A^{2}k^{2}\int _{0}^{\lambda }\mathrm {sen} ^{2}(\omega t-kx)\mathrm {d} x={\frac {1}{4}}F_{T}A^{2}k^{2}\lambda$

y densidad de energía potencial por unidad de longitud

${\frac {U}{\lambda }}={\frac {1}{2}}F_{T}k^{2}A^{2}$

Aplicando que

${\frac {F_{T}}{\mu }}=v^{2}={\frac {\omega ^{2}}{k^{2}}}$

esta densidad de energía se transforma en

${\frac {U}{\lambda }}={\frac {1}{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}$

esto es, es idéntica a la densidad de energía cinética, como dedujimos antes para cualquier onda viajera.

Onda estacionaria sinusoidal

De la misma manera podemos calcular la energía potencial de una onda estacionaria

$y=A\cos(\omega t)\cos(kx)\,$

y resulta

$U={\frac {1}{2}}F_{T}k^{2}A^{2}\cos ^{2}(\omega t)\int _{0}^{\lambda }\mathrm {sen} ^{2}(kx)\mathrm {d} x={\frac {1}{4}}F_{T}k^{2}A^{2}\cos ^{2}(\omega t)\lambda$

Aplicando de nuevo la relación entre la tensión y la velocidad de la onda

$U={\frac {\lambda }{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda \cos ^{2}(\omega t)$

Como con la energía cinética, la energía potencial de una onda estacionaria no es una constante. Es la suma de las dos, la energía mecánica, la que permanece constante.

En este caso, podemos ver además que

$U\neq K\,$

por no tratarse de una onda puramente viajera.

Onda triangular

Para el pulso triangular

$y=f(x-vt)\qquad f(s)={\begin{cases}0&s<-a\\h(a+s)/a&-a<s<0\\h(a-s)/a&0<s<a\\0&s>a\end{cases}}$

la energía potencial almacenada en toda la longitud de la onda (desde $-\infty$ hasta $+\infty$) es

$U={\frac {F_{T}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)^{2}\mathrm {d} x$

La derivada que aparece en el integrando es igual a

${\frac {\partial y}{\partial x}}=f'(s)={\begin{cases}0&s<-a\\h/a&-a<s<0\\-h/a&0<s<a\\0&s>a\end{cases}}$

haciendo el cambio de variable $s=x-vt$ y separando la integral en cuatro tramos queda

$U={\frac {F_{T}}{2}}\left(\int _{-\infty }^{-a}0\,\mathrm {d} s+\int _{-a}^{0}{\frac {h^{2}}{a^{2}}}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{a}{\frac {h^{2}}{a^{2}}}\,\mathrm {d} s+\int _{a}^{\infty }0\,\mathrm {d} s\right)=F_{T}{\frac {h^{2}}{a}}=\mu {\frac {h^{2}v^{2}}{a}}$

Al tratarse de una onda viajera, la energía potencial coincide con la cinética.

Energía total

La energía total de una onda será la suma de su energía cinética más la potencial

$K={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\mu \left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)^{2}\mathrm {d} x$    $U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}F_{T}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)^{2}\mathrm {d} x$    $E=K+U={\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}\left(\mu \left({\frac {\partial y}{\partial t}}\right)^{2}+F_{T}\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} x$

Para los tres casos anteriores, esta energía es igual a

Onda viajera sinusoidal

$E=K+U={\frac {1}{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda +{\frac {1}{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda$

Onda viajera estacionaria

$E=K+U={\frac {1}{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda \,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)+{\frac {1}{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda \cos ^{2}(\omega t)={\frac {1}{4}}\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda$

Vemos que, aunque la energía cinética y la potencial son funciones oscilantes, su suma es una constante. En una onda estacionaria, la energía cinética se transforma en potencial y viceversa.

Onda triangular

$E=K+U=\mu {\frac {v^{2}h^{2}}{a}}+\mu {\frac {v^{2}h^{2}}{a}}=2\mu {\frac {v^{2}h^{2}}{a}}$

Potencia

Supongamos una cuerda tensa que se extiende desde $x=0$ en adelante. Si desde extremo se genera una onda agitando la cuerda, se introduce una energía en el sistema. El ritmo al que entra este energía lo da la potencia desarrollada por el agente que está moviendo la cuerda

$P=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,$

En el extremo de la cuerda la velocidad del punto es puramente perpendicular a la cuerda, por tratarse de una onda transversal

$\mathbf {v} ={\frac {\partial y}{\partial t}}\mathbf {j}$

por lo que la potencia desarrollada es

$P=F_{y}{\frac {\partial y}{\partial t}}$

La componente transversal de la fuerza la podemos calcular observando que por tratarse de una tensión es tangente a la cuerda

$\mathbf {F} =-F_{T}(\cos \theta \mathbf {i} +\,\mathrm {sen} \,\theta \mathbf {j} )$ ⇒ $F_{y}=-F_{T}\,\mathrm {sen} \,\theta$

Si el ángulo de desviación es pequeño se cumple que

$\cos \theta \simeq 1$ ⇒ $\mathrm {sen} \,\theta \simeq \,\mathrm {tg} \,\theta$

y la tangente del ángulo es la pendiente de la curva en $x=0$

$\mathrm {tg} \,\theta ={\frac {\partial y}{\partial x}}$ ⇒ $F_{y}\simeq -F_{T}{\frac {\partial y}{\partial x}}$

Por tanto la potencia desarrollada por el agente que mueve la cuerda es

$P=-F_{T}{\frac {\partial y}{\partial x}}\,{\frac {\partial y}{\partial t}}$

La energía inyectada en el sistema durante un tiempo $T$ será

$\Delta E=\int _{0}^{T}P\,\mathrm {d} t=-\int _{0}^{T}F_{T}{\frac {\partial y}{\partial x}}\,{\frac {\partial y}{\partial t}}\,\mathrm {d} t$

Onda viajera sinusoidal

Para una onda viajera

$y=A\cos(\omega t-kx)\,$

la potencia desarrollada en $x=0$ es

$\left.{\frac {\partial y}{\partial t}}\right|_{x=0}=-A\omega \,\mathrm {sen} (\omega t)$    $\left.{\frac {\partial y}{\partial x}}\right|_{x=0}=Ak\,\mathrm {sen} (\omega t)$ ⇒  $P=F_{T}\omega kA^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)$

y la energía que se introduce en un periodo

$\Delta E=\int _{0}^{T}P\,\mathrm {d} t=F_{T}\omega kA^{2}\int _{0}^{T}\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)\,\mathrm {d} t=F_{T}\omega kA^{2}{\frac {T}{2}}$

Aplicando que

$T={\frac {\lambda }{v}}$     $k={\frac {\omega }{v}}$    $F_{T}=\mu v^{2}\,$

resulta

$\Delta E={\frac {\mu \omega ^{2}A^{2}\lambda }{2}}$

que es exactamente la energía almacenada en una longitud de onda. Este resultado nos dice que la cantidad de energía que entra en la onda durante un periodo se distribuye hasta ocupar una longitud de onda, y por tanto la velocidad a la que se propaga la energía es justamente $v$, la velocidad con la que avanza la onda.