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== Enunciado ==
==Enunciado==
Un barco usa un sistema de sonar para detectar objetos submarinos. El barco se encuentra en reposo en una zona en la que la profundidad del lecho marino es de 50.0 metros. El sistema emite un haz de ondas de sonido de frecuencia ''f'' = 262&thinsp;Hz que forma un ángulo de 30.0&ordm; con la superficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda, que se refleja en un pecio, en regresar al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo es 0.135 segundos y que la densidad del agua es 1.06×10&sup3;&thinsp;kg/m&sup3;, calcule
Considere los casos de superposición siguientes


# La velocidad del sonido en el agua
# <math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)</math>
# El módulo de compresibilidad del agua
# <math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)</math>
# La longitud de onda de la señal emitida.
# <math>y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)</math>
# <math>y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\qquad y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )</math>
 
Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?
 
==Solución==
===Primer caso===
Debemos sumar las señales
 
<center><math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)</math></center>
 
Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.
 
Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica
 
<center><math>\mathrm{sen}\left(\alpha\right)=\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)</math></center>
 
las señales quedan como
 
<center><math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = A\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{2}\right)</math></center>
 
Aplicando ahora la relación que transforma sumas en productos
 
<center><math>\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)</math></center>
 
la superposición es
 
<center><math>y = y_1+y_2=2A\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}A \cos\left(\omega t-kx-\frac{\pi}{4}\right)</math></center>
 
[[Imagen:seno+coseno.gif|left]]Resulta una onda viajera, de amplitud <math>\sqrt{2}A</math> (aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de &pi;/4.
 
===Segundo caso===
En el segundo caso
 
<center><math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)</math></center>
 
se trata de sumar dos ondas de la misma amplitud pero que se propagan en direcciones diferentes. Por ello, su suma va a consistir en una onda estacionaria.
 
Como en el apartado anterior, escribimos el seno como un coseno
 
<center><math>y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)=A\cos\left(\omega t + k x - \frac{\pi}{2}\right)</math> </center>
 
y la transformación de sumas en productos, lo que nos da
 
<center><math>y=y_1+y_2=A \cos(\omega t - kx)+A\cos\left(\omega t + k x - \frac{\pi}{2}\right) = 2A\cos\left(k x - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right)</math></center>
 
[[Imagen:seno+coseno-2.gif|left]]Esta es la ecuación de una onda estacionaria, con amplitud dependiente de la posición
 
<center><math>A(x) = 2A\cos\left(k x - \frac{\pi}{4}\right)</math></center>
 
que alcanza el valor máximo de 2. Vemos que el efecto de introducir una fase simplemente traslada la posición de los nodos y el desfase de la oscilación de cada punto, pero produce el mismo efecto de onda estacionaria.
 
===Tercer caso===
En el tercer caso tenemos las señales
 
<center><math>y_1= A\cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)</math></center>
 
Estas señales son respectivamente una onda viajera hacia la derecha y una onda estacionaria, por lo que no es evidente qué va a resultar de superposición.
 
Podemos hallarlo desarrollando el coseno de la onda viajera
 
<center><math>y_1=A\cos(\omega t - kx)=A\cos(\omega t)\cos(kx)+A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)</math></center>
 
que puede interpretarse como que una onda viajera es suma de dos estacionarias (del mismo modo que una estacionaria es suma de dos viajeras). Si ahora sumamos esta forma con la segunda señal
 
<center><math>y = y_1+y_2=A\cos(\omega t)\cos(kx)+A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)-2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)=A\cos(\omega t)\cos(kx)-A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)</math></center>
 
y este resultado puede volverse a combinar en una onda viajera
 
<center><math>y = A\cos(\omega t)\cos(kx)-A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(kx)= A\cos(\omega t + k x)</math></center>
 
Nos ha resultado, por tanto, que la superposición es una onda viajera hacia la izquierda, y de la misma amplitud que la onda viajera original.
 
No hay que pensar que este resultado es general y que la suma de una onda viajera y una estacionaria es siempre una única onda viajera. En general resultarán dos ondas viajeras, de distinta amplitud, una en cada sentido (o, equivalentemente, una onda viajera más una estacionaria, o dos estacionarias).
 
===Cuarto caso===
Por último tenemos la composición de tres señales
<center><math>y_1= 4A\cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = 3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t-kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_3 = 5A\cos(\omega t + kx )\,</math></center>
 
Dos de estas señales (las que llevan el signo negativo) son ondas viajeras hacia la derecha, mientras que la tercera viaja hacia la izquierda.
 
Sumamos en primer lugar las dos viajeras hacia la derecha, que nos producirán una onda viajera en el mismo sentido.
 
<center><math>y_1+y_2= A'\cos(\omega t - kx+\phi')\,</math></center>
 
se trata de hallar la amplitud <math>A'</math> y el desfase inicial <math>\phi\,</math>. En lugar de emplear relaciones trigonométricas lo haremos a partir de las condiciones iniciales. El estado de oscilación en <math>x=0</math> será
 
<center><math>\left.(y_1+y_2)\right|_{x=0}=A'\cos(\omega t +\phi')=\left.y_1\right|_{x=0}+\left.y_2\right|_{x=0}=4A\cos(\omega t)+3A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)</math></center>
 
Igualando ahora la posición y la velocidad inicial de este movimiento oscilatorio
 
<center><math>A'\cos(\phi')=4A\cdot 1 + 3A\cdot 0 = 4A\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>-A'\omega\,\mathrm{sen}\,(\phi')=-4A\omega\cdot 0+3A\omega\cdot 1=3A\omega</math></center>
 
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
 
<center><math>A'\cos(\phi')=4A\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>A'\,\mathrm{sen}\,(\phi')=-3A</math></center>
 
obtenemos


== Solución ==
[[Imagen:Onda_sonora_en_agua.png|400px|right]]
Si ''H'' es la profundidad del lecho marino, la distancia entre el barco y el pecio es
<center>
<center>
<math>
<math>A'=5A\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\phi'=-\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)</math></center>
d = \dfrac{H}{\mathrm{sen}\,\alpha} = 100\,\mathrm{m}
 
</math>
Por tanto, la suma de las dos primeras señales es la onda viajera
</center>
 
El intervalo de tiempo que nos dan es el tiempo que la onda tarda en ir y volver desde el barco hasta el pecio. Por tanto la velocidad de la onda sonora en el agua es
<center><math>y_1+y_2=5A\cos\left(\omega t - kx -\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)</math></center>
<center>
<math>
c = \dfrac{2\,d}{\Delta t} = \dfrac{2\times100\,\mathrm{m}}{0.135\,\mathrm{s}} = 1.48\,\mathrm{km/s}
</math>
</center>


La velocidad del sonido en el agua es
Puesto que tiene la misma amplitud que la onda viajera hacia la izquierda, el resultado será una onda estacionaria
<center>
<center>
<math>
<math>y_1+y_2+y_3=5A\cos\left(\omega t - kx -\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)+5A\cos\left(\omega t + kx\right)=
c = \sqrt{\dfrac{B}{\rho}}
</math>
</math>
</center>
</center>
donde ''B'' es el módulo de compresibilidad y <math>\rho </math> es la densidad volumétrica del agua. Entonces
Aplicando de nuevo las transformaciones de sumas en productos
<center>
<center>
<math>
<math>y_1+y_2+y_3
B = \rho\,c^2 = 2.32\times10^9\,\mathrm{Pa}
= 10A\cos\left(kx +\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)\cos\left(\omega t-\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)\right)</math>
</math>
</center>
</center>
El módulo de compresibilidad mide la resistencia de un medio a cambiar su volumen cuando es comprimido. Por definición
 
<center>
Podemos simplificar un poco esta expresión observando que
<math>
 
\dfrac{\Delta V}{V} = -\dfrac{1}{B}\Delta P
<center><math>\frac{1}{2}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{3}{4}\right)=\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{1}{3}\right)</math></center>
</math>
 
</center>
por lo que nos queda finalmente la onda estacionaria
Un medio con un valor grande de ''B'' varía muy poco su volumen cuando es sometido a un incremento de presión <math>\Delta P </math>. Con el dato obtenido para ''B'', para variar en un 1% el volumen de una masa de agua, la sobrepresión necesaria es
 
<center>
<center>
<math>
<math>y_1+y_2+y_3
|\Delta P| = B\dfrac{\Delta V}{V} = 2.32\times10^9\,\mathrm{Pa} \times 0.01 =
= 10A\cos\left(kx +\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{1}{3}\right)\right)\cos\left(\omega t-\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{1}{3}\right)\right)</math>
2.32\times10^7\,\mathrm{Pa} = 229\,\mathrm{atm}
</math>
</center>
</center>
Es decir, el agua es esencialmente incompresible.


La longitud de onda de la onda sonora es
<center>
<math>
\lambda = \dfrac{c}{f} = 5.65\,\mathrm{m}
</math>
</center>
[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]
[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]

Revisión actual - 16:27 11 dic 2023

Enunciado

Considere los casos de superposición siguientes

Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?

Solución

Primer caso

Debemos sumar las señales

    

Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.

Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica

las señales quedan como

    

Aplicando ahora la relación que transforma sumas en productos

la superposición es

Archivo:Seno+coseno.gif

Resulta una onda viajera, de amplitud (aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de π/4.

Segundo caso

En el segundo caso

    

se trata de sumar dos ondas de la misma amplitud pero que se propagan en direcciones diferentes. Por ello, su suma va a consistir en una onda estacionaria.

Como en el apartado anterior, escribimos el seno como un coseno

y la transformación de sumas en productos, lo que nos da

Archivo:Seno+coseno-2.gif

Esta es la ecuación de una onda estacionaria, con amplitud dependiente de la posición

que alcanza el valor máximo de 2. Vemos que el efecto de introducir una fase simplemente traslada la posición de los nodos y el desfase de la oscilación de cada punto, pero produce el mismo efecto de onda estacionaria.

Tercer caso

En el tercer caso tenemos las señales

    

Estas señales son respectivamente una onda viajera hacia la derecha y una onda estacionaria, por lo que no es evidente qué va a resultar de superposición.

Podemos hallarlo desarrollando el coseno de la onda viajera

que puede interpretarse como que una onda viajera es suma de dos estacionarias (del mismo modo que una estacionaria es suma de dos viajeras). Si ahora sumamos esta forma con la segunda señal

y este resultado puede volverse a combinar en una onda viajera

Nos ha resultado, por tanto, que la superposición es una onda viajera hacia la izquierda, y de la misma amplitud que la onda viajera original.

No hay que pensar que este resultado es general y que la suma de una onda viajera y una estacionaria es siempre una única onda viajera. En general resultarán dos ondas viajeras, de distinta amplitud, una en cada sentido (o, equivalentemente, una onda viajera más una estacionaria, o dos estacionarias).

Cuarto caso

Por último tenemos la composición de tres señales

        

Dos de estas señales (las que llevan el signo negativo) son ondas viajeras hacia la derecha, mientras que la tercera viaja hacia la izquierda.

Sumamos en primer lugar las dos viajeras hacia la derecha, que nos producirán una onda viajera en el mismo sentido.

se trata de hallar la amplitud y el desfase inicial . En lugar de emplear relaciones trigonométricas lo haremos a partir de las condiciones iniciales. El estado de oscilación en será

Igualando ahora la posición y la velocidad inicial de este movimiento oscilatorio

    

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

    

obtenemos

    

Por tanto, la suma de las dos primeras señales es la onda viajera

Puesto que tiene la misma amplitud que la onda viajera hacia la izquierda, el resultado será una onda estacionaria

Aplicando de nuevo las transformaciones de sumas en productos

Podemos simplificar un poco esta expresión observando que

por lo que nos queda finalmente la onda estacionaria