(Página creada con «== Enunciado == Una cuerda de masa 0.200 kg y 4.00 m de longitud se conecta a un diapasón que oscila con una frecuencia de 20.0 Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1.00 cm. La onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de 10.0 cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda se dupl…»)
 
(Página creada con «==Enunciado== Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo? Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los p…»)
 
Línea 1: Línea 1:
== Enunciado ==
==Enunciado==
Una cuerda de masa 0.200 kg y 4.00 m de longitud se conecta a un diapasón que oscila con una frecuencia de 20.0 Hz. La amplitud de las oscilaciones es de 1.00 cm. La onda transversal excitada en la cuerda resulta tener una longitud de onda de 10.0 cm. Determine la velocidad de la onda y la tensión aplicada a la cuerda. ¿Por qué factor es preciso multiplicar la tensión aplicada para que la longitud de onda se duplique?
Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?


== Solución ==
Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?
A partir de la masa y la longitud de la cuerda su densidad lineal de masa es
 
<center>
==Solución==
<math>
El tiempo en llegar al extremo superior es la suma del que emplea en recorrer el hilo de cobre más el que tarda en recorrer el de acero.
\mu = \dfrac{M}{L} = 0.0500 \mathrm{kg/m}
 
</math>
<center><math>\Delta t = \frac{L_1}{v_1}+\frac{L_2}{v_2}</math></center>
</center>
 
La velocidad de la onda en la cuerda es
donde denomianmos &ldquo;1&rdquo; al cable de acero y &ldquo;2&rdquo; al de cobre.
<center>
 
<math>
La velocidad en cada medio es diferente debido a las distintas densidades de masa. Para cada uno de los cables tenemos que
v = \sqrt{\dfrac{F_T}{\mu}}
 
</math>
<center><math>\mu_i = \frac{m_i}{L_i}</math></center>
</center>
 
siendo <math>F_T </math> la tensión en la cuerda. Por otro lado, como la onda es sinusoidal la velocidad puede escribirse también
siendo la masa total de cada cable
<center>
 
<math>
<center><math>m_i = \rho_i V_i = \rho_i S_i L_i = \rho_i \frac{\pi D_i^2}{4}L_i</math>{{tose}}<math>m_1=18.5\,\mathrm{g}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m_2=14.1\,\mathrm{g}</math></center>
v = \lambda\,f
 
</math>
Las densidades lineales de masa valen
</center>
 
siendo <math>\lambda </math> la longitud de onda y <math>f </math> la frecuencia, que es la del diapasón. Así pues, la velocidad de la onda es
<center><math>\mu_i=\frac{\pi \rho_iD_i^2}{4}</math>{{tose}}<math>\mu_1=6.17\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mu_2=7.74\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{m}}</math></center>
<center>
 
<math>
De aquí que la velocidad en cada medio sea
v = \lambda\,f = 2.00\,\mathrm{m/s}
 
</math>
<center><math>v_i=\sqrt{\frac{F_T}{\mu_i}}=\sqrt{\frac{Mg}{\pi \rho_iD_i^2/4}}=\frac{2}{D_i}\sqrt{\frac{Mg}{\pi\rho_i}}</math>{{tose}}<math>v_1=178\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>v_1=159\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
</center>
 
y la tensión es
La tensión a la que están sometidos los dos cables es la misma e igual al peso de la masa situada en el extremo inferior. Esto presupone que despreciamos el efecto en la tensión de la masa de los propios cables. Más adelante examinaremos si este efecto es importante.
<center>
 
<math>
Sustituyendo en la expresión del tiempo de viaje nos queda finalmente
F_T = \mu\,v^2 = 0.200\,\mathrm{N}
 
</math>
<center><math>\Delta t=\frac{D_1L_1}{2}\sqrt{\frac{\pi \rho_1}{Mg}}+\frac{D_2L_2}{2}\sqrt{\frac{\pi \rho_2}{Mg}}=28.9\,\mathrm{ms}</math></center>
</center>
 
En los cálculos anteriores hemos considerado que la tensión se debe exclusivamente a la masa que cuelga de los cables, despreciando el efecto de estos. Ésta es una hipótesis razonable puesto que la masa total de los cables es de 32.6&thinsp;g, lo cual es un 0.16% de la masa de la pesa. Esto nos permite suponer que el error que estamos cometiendo es del orden de la décima del 1%, esto es, en la tercera cifra decimal.
 
Podemos hacer una estimación más precisa del error cometido sin necesidad de resolver el problema completo teniendo en cuenta la masa de los cables (lo cual es factible, pero requiere cálculo integral). El tiempo real estará comprendido entre el que hemos calculado y el que correspondería a una masa colgante <math>M'=M+m_1+m_2</math>. El cociente entre el tiempo que obtendríamos con esta masa y el que hemos hallado es
 
<center><math>\frac{\Delta t'}{\Delta t} =\sqrt{\frac{M}{M'}} = \sqrt{\frac{M}{M+m_1+m_2}}</math></center>
 
y el error relativo cometido estará en el rango
 
<center><math>\epsilon < \left|\frac{\Delta t'-\Delta t}{\Delta t}\right|=\left|\sqrt{\frac{M}{M+m_1+m_2}}-1\right|=0.0\%</math></center>


Queremos que la longitud de onda se duplique variando únicamente la tensión. Escribimos la longitud de onda directamente en función de la tensión
que efectivamente es aproximadamente una milésima.
<center>
<math>
\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{1}{f}\sqrt{\dfrac{F_T}{\mu}}
\Rightarrow
F_T = \mu\,f^2\,\lambda^2
</math>
</center>
Si queremos que la nueva longitud de onda <math>\lambda' </math> sea el doble de la anterior tendremos
<center>
<math>
F_T' = \mu\,f^2\,\lambda'^2= 4\mu\,f^2\,\lambda^2 = 4\,F_T


Si quisiéramos hacer el cálculo exacto deberíamos suponer una velocidad dependiente de la altura (ya que la tensión va aumentando ligeramente a medida que subimos), siendo el tiempo total en recorrer uno de los cables


</math>
<center><math>\Delta t = \int \mathrm{d}t=\int_0^L\frac{\mathrm{d}z}{v(z)}</math></center>
</center>


con


<center><math>
v(z) = \sqrt{\frac{F_t(z)}{\mu}} = \sqrt{\frac{Mg + \mu g z}{\mu}}
</math></center>


la tensión aumenta linealmente con la altura, a medida que más masa va quedando debajo. En nuestro problema, en el que tenemos dos cables en serie, además hay que separar el tiempo en dos integrales, una por cable. Entonces el tiempo que tarda el impulso en recorrer el cable es
<center>
<math>
\Delta t = \int\limits_0^L \dfrac{\mathrm{d}z}{v(z)}
=
\int\limits_0^L \sqrt{\dfrac{\mu}{Mg+\mu gz}}\,\mathrm{d}z
=
2\sqrt{\dfrac{M}{g\mu}}\left(\sqrt{1+\dfrac{\mu L}{M}} - 1\right)
</math>
</center>
[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]
[[Categoría:Problemas de movimiento ondulatorio]]

Revisión actual - 16:26 11 dic 2023

Enunciado

Un hilo de acero (ρ = 7.85 g/cm³) de 3.0 m y un hilo de cobre (ρ = 8.96 g/cm³) de 2.0 m ambos con un diámetro de 1 mm están conectados por un extremo. El extremo libre del acero está atado al techo, mientras que del del cobre cuelga una masa de 20 kg. ¿Cuánto tarda una oscilación de la masa en llegar hasta el techo?

Suponga despreciable el incremento en la tensión debido al peso de los propios cables. ¿Podría hacerse una estimación del error cometido al hacer esta aproximación?

Solución

El tiempo en llegar al extremo superior es la suma del que emplea en recorrer el hilo de cobre más el que tarda en recorrer el de acero.

donde denomianmos “1” al cable de acero y “2” al de cobre.

La velocidad en cada medio es diferente debido a las distintas densidades de masa. Para cada uno de los cables tenemos que

siendo la masa total de cada cable

 ⇒     

Las densidades lineales de masa valen

 ⇒     

De aquí que la velocidad en cada medio sea

 ⇒     

La tensión a la que están sometidos los dos cables es la misma e igual al peso de la masa situada en el extremo inferior. Esto presupone que despreciamos el efecto en la tensión de la masa de los propios cables. Más adelante examinaremos si este efecto es importante.

Sustituyendo en la expresión del tiempo de viaje nos queda finalmente

En los cálculos anteriores hemos considerado que la tensión se debe exclusivamente a la masa que cuelga de los cables, despreciando el efecto de estos. Ésta es una hipótesis razonable puesto que la masa total de los cables es de 32.6 g, lo cual es un 0.16% de la masa de la pesa. Esto nos permite suponer que el error que estamos cometiendo es del orden de la décima del 1%, esto es, en la tercera cifra decimal.

Podemos hacer una estimación más precisa del error cometido sin necesidad de resolver el problema completo teniendo en cuenta la masa de los cables (lo cual es factible, pero requiere cálculo integral). El tiempo real estará comprendido entre el que hemos calculado y el que correspondería a una masa colgante . El cociente entre el tiempo que obtendríamos con esta masa y el que hemos hallado es

y el error relativo cometido estará en el rango

que efectivamente es aproximadamente una milésima.

Si quisiéramos hacer el cálculo exacto deberíamos suponer una velocidad dependiente de la altura (ya que la tensión va aumentando ligeramente a medida que subimos), siendo el tiempo total en recorrer uno de los cables

con

la tensión aumenta linealmente con la altura, a medida que más masa va quedando debajo. En nuestro problema, en el que tenemos dos cables en serie, además hay que separar el tiempo en dos integrales, una por cable. Entonces el tiempo que tarda el impulso en recorrer el cable es