Solución de onda estacionaria

Enunciado

Una onda sinusoidal transversal que se desplaza por una cuerda tiene un periodo T = 25.0 ms y viaja en la dirección negativa del eje x a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0 s una partícula de la cuerda situada en la posición x = 0 m tiene un desplazamiento de 2.00 cm y se mueve hacia abajo con una velocidad de 2 m/s. Halle la amplitud, la longitud de onda, y el desfase inicial de esta señal.

Solución

La onda posee la expresión

$y=A\cos(\omega t+kx+\phi )\,$

donde el signo "+" se debe a que viaja en la dirección negativa del eje x. La frecuencia angular ω la obtenemos del periodo

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi }{25\,\mathrm {ms} }}\,{\frac {1000\,\mathrm {ms} }{1\,\mathrm {s} }}=80\pi \,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}=251\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

y, conocida el periodo y la velocidad de la onda obtenemos la longitud de onda

$\lambda =v\,T=30\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\,25\,\mathrm {ms} \,{\frac {1\,\mathrm {s} }{1000\,\mathrm {ms} }}=0.750\,\mathrm {m}$

y de aquí el número de onda

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {8\pi }{3}}\,\mathrm {m} ^{-1}=8.38\,\mathrm {m} ^{-1}$

La amplitud y el desfase las obtenemos de la posición y la velocidad iniciales. La velocidad de desplazamiento de cada punto de la onda es

$y=A\cos(\omega t+kx+\phi )\,$ ⇒ ${\frac {\partial y}{\partial t}}=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t+kx+\phi )$

y en $x=0$ y $t=0$

$0.02\,\mathrm {m} =y_{0}=A\cos(\phi )$    $-2\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=\left.{\frac {\partial y}{\partial t}}\right|_{0}=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(\phi )$

Despejando

$A={\sqrt {y_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}=2.15\,\mathrm {cm}$  $\phi =-\,\mathrm {arctg} \,{\frac {v_{0}/\omega }{y_{0}}}=0.377\,\mathrm {rad}$

con lo que, finalmente, la expresión de la onda es

$y=2.15\,\mathrm {cos} (251.3t+8.38x+0.377)\,$