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Partícula suspendida de dos hilos

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula de peso 300 N cuelga de un techo horizontal sujeta por dos hilos (“1” y “2”). El hilo 1 forma un ángulo de 30° con la vertical, mientras que el hilo 2 forma uno de 60° con la vertical. ¿Cuánto valen, en módulo, las tensiones de los dos hilos?

2 Solución

Puesto que la masa está en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre ella es nula

\vec{T}_1+\vec{T}_2+m\vec{g}=\vec{0}

proyectando sobre un sistema de ejes en el que el eje OX es el horizontal en el plano de los dos hilos y el eje Z es el vertical expresamos estas fuerzas como

\vec{T}_1 = -\left|\vec{T}_1\right|\mathrm{sen}(30^\circ)\vec{\imath}+\left|\vec{T}_1\right|\cos(30^\circ)\vec{k}=\left|\vec{T}_1\right|\left(-\frac{1}{2}\vec{\imath}+\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{k}\right)

y

\vec{T}_2 = \left|\vec{T}_2\right|\mathrm{sen}(60^\circ)\vec{\imath}+\left|\vec{T}_2\right|\cos(60^\circ)\vec{k}=\left|\vec{T}_2\right|\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{\imath}+\frac{1}{2}\vec{k}\right)

siendo el peso

m\vec{g}=-mg\vec{k}

Puesto que la suma vectorial de las fuerzas se anula

-\frac{\left|\vec{T}_1\right|}{2}+\frac{\sqrt{3}\left|\vec{T}_2\right|}{2}=0\qquad\qquad \frac{\sqrt{3}\left|\vec{T}_1\right|}{2}+\frac{\left|\vec{T}_2\right|}{2}-mg=0

Despejando de la primera y sustituyendo en la segunda

\left|\vec{T}_1\right| = \sqrt{3}\left|\vec{T}_2\right|\qquad\Rightarrow\qquad \left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)\left|\vec{T}_2\right| = mg\qquad\Rightarrow\qquad \left|\vec{T}_2\right| = \frac{mg}{2} = 150\,\mathrm{N}

y para la otra tensión

\left|\vec{T}_1\right| = \sqrt{3}\left|\vec{T}_2\right| =\frac{\sqrt{3}}{2}mg = 260\,\mathrm{N}

Gráficamente se ve de manera sencilla que, puesto que los hilos son ortogonales, una de las tensiones irá como el peso por el seno de 30° y la otra como el coseno, siendo mayor la tensión del hilo más vertical. Además, es evidente que la suma de los módulos no puede ser igual al peso, ya que en este caso se aplica el teorema de Pitágoras, no la simple suma escalar

\left|m\vec{g}\right|=\sqrt{\left|\vec{T}_1\right|^2+\left|\vec{T}_2\right|^2}

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