Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Partícula subiendo por arco de circunferencia con muelle, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Revisión a fecha de 11:46 27 ene 2021; Pedro (Discusión | contribuciones)
(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

1 Enunciado

Una partícula de masa m se desliza por una superficie horizontal lisa con velocidad \vec{v}_0. En el punto A empieza a deslizar por un semiaro de radio R como se indica en la figura. El contacto entre la partícula y el semiaro es liso. Durante su movimiento sobre el aro está sometida, además de la gravedad, a la fuerza de un muelle de constante elástica k = mg / R y longitud natural nula. El muelle está anclado en el punto A. En la figura se muestran los vectores de la base polar junto con la base cartesiana.

  1. Esribe el vector \overrightarrow{OA} y la aceleración de la partícula en la base polar.
  2. Encuentra la expresión que da la energía mecánica de la partícula para un punto P arbitrario del semiaro es (tomando como referencia de energía potencial gravitatoria nula la altura del eje X)
  3. ¿Cuál es el valor mínimo de v0 para que la partícula llegue al punto B?
  4. Escribe la ecuación de movimiento.

2 Solución

Vectores en base polar

En la base cartesiana asociada a los ejes de la figura el vector \overrightarrow{OA} se escribe


\overrightarrow{OA} = -R\,\vec{\jmath}.

Usando los vectores de la base polar mostrados en la figura, podemos escribir los vectores de la base cartesiana en la base polar


\begin{array}{l}
\vec{\imath} = \cos\theta\,\vec{u}_r - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta},\\
\vec{\jmath} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r + \cos\theta\,\vec{u}_{\theta}.
\end{array}

Con esto, el vector pedido es


\overrightarrow{OA} = -R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r - R\cos\theta\,\vec{u}_{\theta}.

Cuando se mueve sobre el arco de circunferencia la partícula realiza un movimiento circular de radio R. Por tanto, su velocidad y aceleración son


\begin{array}{l}
\vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta},\\
\vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}.
\end{array}

Energía mecánica

La energía cinética de la partícula es


T = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2.

La energía potencial gravitatoria es


U_g = mgR\,\mathrm{sen}\,\theta.

La energía potencial elástica es


U_k = \dfrac{1}{2}k|\overrightarrow{AP}|^2

Podemos obtener |\overrightarrow{AP}| usando el teorema del coseno. Los lados \overline{OA} y \overline{OP} tienen longitud R. Entonces


|\overrightarrow{AP}|^2 = 2R^2 - 2R^2\cos(\pi/2+\theta) =
2R^2(1+\mathrm{sen}^2\theta).

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Aviso legal - Acerca de Laplace