Revisión de 12:46 27 ene 2021

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se desliza por una superficie horizontal lisa con velocidad $\vec{v}_0$ . En el punto $A$ empieza a deslizar por un semiaro de radio $R$ como se indica en la figura. El contacto entre la partícula y el semiaro es liso. Durante su movimiento sobre el aro está sometida, además de la gravedad, a la fuerza de un muelle de constante elástica $k = m g / R$ y longitud natural nula. El muelle está anclado en el punto $A$ . En la figura se muestran los vectores de la base polar junto con la base cartesiana.

Esribe el vector $\overrightarrow{OA}$ y la aceleración de la partícula en la base polar.
Encuentra la expresión que da la energía mecánica de la partícula para un punto $P$ arbitrario del semiaro es (tomando como referencia de energía potencial gravitatoria nula la altura del eje $X$ )
¿Cuál es el valor mínimo de $v 0$ para que la partícula llegue al punto $B$ ?
Escribe la ecuación de movimiento.

2 Solución

Vectores en base polar

En la base cartesiana asociada a los ejes de la figura el vector $\overrightarrow{OA}$ se escribe

$\overrightarrow{OA} = -R\,\vec{\jmath}.$

Usando los vectores de la base polar mostrados en la figura, podemos escribir los vectores de la base cartesiana en la base polar

$\begin{array}{l} \vec{\imath} = \cos\theta\,\vec{u}_r - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta},\\ \vec{\jmath} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_r + \cos\theta\,\vec{u}_{\theta}. \end{array}$