Partícula sobre espiral con muelle, Enero 2015 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula de masa $m$ está engarzada en la barra ranurada de la figura. El muelle, de longitud natural $l_{0}<L$ y constante elástica $k$, la empuja de modo que, al girar la barra, la partícula está obligada a moverse sobre la espiral indicada, de ecuación $r(\theta )=r_{0}e^{\theta }$, con $\theta =\theta (t)$. La barra gira de modo que la partícula se mueve con rapidez constante $v_{0}$. El efecto de la gravedad es despreciable.

1. Usando coordenadas polares, escribe las expresiones del vector de posición, velocidad y aceleración de la partícula. Deja el resultado en función de $\theta$ y sus derivadas.
2. Calcula la ley horaria $\theta (t)$.
3. Determina la fuerza que ejerce el muelle sobre la partícula, así como la energía potencial del muelle. Expresa estos dos resultados en función del ángulo $\theta$.
4. ¿Se conserva la energía mecánica de la partícula? ¿Y el momento cinético respecto a $O$? Razona las respuestas.

Solución

Vectores en polares

La posición de un punto cualquiera situado en un plano en polares viene determinada por el par de coordenadas $(r,\theta )$, donde $r$ es la distancia al origen y $\theta$ es el ángulo que forma ${\vec {r}}$ con el eje $OX$. El vector de posición en la base polar es

${\vec {r}}=r\,{\vec {u}}_{r}$

En este caso, la partícula está obligada a moverse sobre una espiral. Esto se especifica imponiendo una relación entre las coordenadas $r$ y $\theta$. Según el enunciado $r=r_{0}e^{\theta }$, con $\theta =\theta (t)$. Para este caso, el vector de posición es

${\vec {r}}=r_{0}e^{\theta }\,{\vec {u}}_{r}$

La velocidad es la derivada de este vector respecto del tiempo. En polares, hay que tener en cuenta que los vectores de la base dependen del tiempo. Tenemos aquí dos funciones que dependen del tiempo: $\theta (t)$ y ${\vec {u}}_{r}(t)$. Tenemos que aplicar la regla de Leibniz

${\vec {v}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }\,{\vec {u}}_{r}+r_{0}e^{\theta }\,{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {u}}_{r}}{\mathrm {d} t}}=r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }\,{\vec {u}}_{r}+r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }=r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }\,({\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })$

Hemos utilizado ${\dot {\vec {u}}}_{r}={\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }$.

El enunciado nos dice que la rapidez de la partícula es constante e igual a $v_{0}$. Tenemos entonces

$|{\vec {v}}|={\sqrt {2}}r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }=v_{0}\Longrightarrow r_{0}{\dot {\theta }}e^{\theta }={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {2}}}$

Y la velocidad queda

${\vec {v}}={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {2}}}\,({\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })$

Derivamos de nuevo respecto al tiempo para obtener la aceleración.

${\vec {a}}={\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {2}}}({\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }-{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{r})_{=}{\dfrac {v_{0}}{\sqrt {2}}}{\dot {\theta }}\,(-{\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })$

Observemos que ${\vec {a}}$ y ${\vec {v}}$ son perpendiculares, es decir, la aceleración tangencial es nula. Esto es coherente con el hecho de que la rapidez de la partícula sea constante.

Ley horaria $\theta (t)$

Igualando el módulo de la velocidad y la rapidez dada tenemos una ecuación diferencial para $\theta (t)$.

$v_{0}={\sqrt {2}}r_{0}e^{\theta }\,{\dfrac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}$

Pasamos a la izquierda todos los factores en que aparece $\theta$ y a la derecha las constantes y los factores donde aparece $t$.

$e^{\theta }\,\mathrm {d} \theta ={\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {2}}r_{0}}}\,\mathrm {d} t$

Integramos en los dos lados. La condición inicial es $\theta (0)=\theta _{0}$.

$\int \limits _{\theta _{0}}^{\theta (t)}e^{\theta }\,\mathrm {d} \theta =\int \limits _{0}^{t}{\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {2}}r_{0}}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow e^{\theta (t)}-e^{\theta _{0}}={\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {2}}r_{0}}}\,t$

Pasando $e^{\theta _{0}}$ a la derecha y tomando logaritmos tenemos

$\theta (t)=\ln \left(e^{\theta _{0}}+{\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {2}}r_{0}}}\,t\right)$

Si, por ejemplo, en el instante inicial la partícula está sobre el eje $OX$ tendríamos $\theta _{0}$, y la ley horaria quedaría

$\theta (t)=\ln \left(1+{\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {2}}r_{0}}}\,t\right)$

Fuerza y energía potencial del muelle

Si llamamos $P$ al punto en el que está la partícula, la fuerza que ejerce el muelle es

${\vec {F}}_{k}=-k(l-l_{0}){\vec {u}}_{AP}$

$l$ es la elongación del muelle, y ${\vec {u}}_{AP}$ es un vector unitario que va desde el punto de anclaje $A$ hasta la posición de la partícula. Tenemos

$l=L-r=L-r_{0}e^{\theta }=L-r_{0}\ln \left(1+{\dfrac {v_{0}}{{\sqrt {2}}r_{0}}}\,t\right)$

y

${\overrightarrow {AP}}=-{\vec {u}}_{r}$

Por tanto la fuerza es

${\vec {F}}_{k}=(L-r-l_{0})\,{\vec {u}}_{r}=\left(L-l_{0}-r_{0}e^{\theta (t)}\right){\vec {u}}_{r}$

Aquí, $\theta (t)$ viene dada por la expresión encontrada en el apartado anterior.

La energía potencial elástica es

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}k(l-l_{0})^{2}={\dfrac {1}{2}}k(L-r-l_{0})^{2}={\dfrac {1}{2}}\left(L-l_{0}-r_{0}e^{\theta (t)}\right)^{2}$

Conservación de la energía mecánica y el momento cinético

Energía mecánica

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial elástica del muelle

$E=T+U_{k}$

La primera es constante, pues $|{\vec {v}}|=v_{0}$ es constante. La segunda cambia con el tiempo, pues la elongación del muelle cambia al moverse la partícula. Por tanto la energía mecánica no se conserva.

¿Quién hace que cambie la energía mecánica? La partícula está sometida a la fuerza del muelle y a otra fuerza que hace que se mantenga sobre la espiral y se mueva con rapidez constante. Es esta fuerza no conservativa la que hace que la energía mecánica cambie.

Momento cinético respecto del origen

Vamos a ver la expresión del momento cinético. Tenemos

${\vec {L}}^{O}={\overrightarrow {OP}}\times (m{\vec {v}})=(r_{0}e^{\theta }\,{\vec {u}}_{r})\times \left({\dfrac {mv_{0}}{\sqrt {2}}}\,({\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta })\right)={\dfrac {mr_{0}v_{0}}{\sqrt {2}}}e^{\theta (t)}\,{\vec {k}}$

Vemos que el módulo de este vector cambia con el tiempo, pues $e^{\theta (t)}$ cambia con el tiempo. Por tanto el momento cinético respecto al origen tampoco es constante. La fuerza que ejerce el muelle es central respecto a $O$, pero no así la otra fuerza que actúa sobre la partícula

Fuerzas sobre la partícula

Esto no se preguntaba en el examen, pero podemos encontrar el valor de esta fuerza. Llamémosla ${\vec {F}}$. La segunda ley dice

$m{\vec {a}}={\vec {F}}_{k}+{\vec {F}}\Longrightarrow {\vec {F}}={\vec {F}}_{k}-m{\vec {a}}$

Sustituyendo las expresiones calculadas antes tendríamos el valor de esta fuerza