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Partícula moviéndose sobre una parábola, Noviembre 2016 (G.I.C.)

De Laplace

Revisión a fecha de 16:21 15 sep 2018; Pedro (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

2 Partícula moviéndose sobre una parábola

Una partícula recorre una parábola de ecuación y = x2 / k, siendo k una constante. La partícula se mueve de modo que la velocidad sobre el eje OX es constante e igual a v0. En el instante inicial la partícula se encontraba en el origen de coordenadas.

  1. Determina las unidades base de k en el S.I.
  2. Calcula el vector de posición de la partícula.
  3. Determina la aceleración de la partícula.
  4. Calcula el vector aceleración normal en el instante de tiempo t0 = k / v0.
  5. En ese mismo instante, calcula el valor del radio de curvatura.

3 Solución

3.1 Unidades de k

Consideremos la expresión

y = x2 / k.

Tanto y como x son coordenadas espaciales, por tanto su unidad base en el S.I. es el metro. Para que los dos términos sean dimensionalmente coherentes debe ocurrir que

[k] = m.

3.2 Vector de posición

Como el movimiento transcurre en el plano OXY, en todo instante tenemos

z = 0

Entonces el vector de posición de la partícula puede escribirse


\overrightarrow{OP} = x\,\vec{\imath} + y \,\vec{\jmath} =
x\,\vec{\imath} + \dfrac{x^2}{k}\,\vec{\jmath}

Hemos usado la expresión de la curva dada en el enunciado. Como el movimiento sobre el eje OX es uniforme, con velocidad constante v0, y en el instante inicial se tiene x(0) = 0, tenemos


\overrightarrow{OP} = v_0t\,\vec{\imath} + \dfrac{v_0^2t^2}{k}\,\vec{\jmath}.

3.3 Vector aceleración

Derivamos una vez respecto del tiempo para obtener la velocidad


\vec{v} = \dot{\overrightarrow{OP}} = v_0\,\vec{\imath} + \dfrac{2v_0^2t}{k}\,\vec{\jmath}.

Derivando otra vez respecto del tiempo tenemos la aceleración


\vec{a} = \dot{\vec{v}} = \dfrac{2v_0^2}{k}\,\vec{\jmath}.

3.4 Velocidad normal y radio de curvatura en t0 = k / v0

En el instante t0 = k / v0 tenemos


\begin{array}{l}
\vec{v}_P = v_0\,\vec{\imath} + 2v_0\,\vec{\jmath},\\ \\
\vec{a}_P = \dfrac{2v_0^2}{k}\,\vec{\jmath}.
\end{array}

El módulo de la velocidad en ese instante es


|\vec{v}_P| = \sqrt{5}v_0.

El vector tangente en ese instante es


\vec{T} = \dfrac{\vec{v}_P}{|\vec{v}_P|} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\,\vec{\imath} + \dfrac{2}{\sqrt{5}}\,\vec{\jmath}.

La aceleración tangencial es


a_T = \vec{a}_P\cdot\vec{T} = \dfrac{4v_0^2}{\sqrt{5}k},

el vector aceleración tangencial es


\vec{a}_T = a_T\,\vec{T} = \dfrac{4v_0^2}{5k}\,\left(\vec{\imath} + 2\vec{\jmath}\right),

y el vector aceleración normal es


\vec{a}_N = \vec{a}_P - \vec{a}_T = \dfrac{2v_0^2}{5k}\,\left(-2\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right).

El radio de curvatura en ese instante es


R_{\kappa} = \dfrac{|\vec{v}_P|^2}{|\vec{a}_N|} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}k.

-\int\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t

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