Ver el código de «Partícula moviéndose sobre una hélice, Enero 2015 (F1 GIA)»

== Enunciado ==
[[Imagen:G1_GIA_PPC_2015_particula_sobre_helice_enunciado.png|right]]
Una partícula  <math>P </math> de masa <math>m </math> está insertada en la hélice fija y uniforme <math>\Gamma </math>. Utilizando un sistema de referencia cartesiano <math>OXYZ </math>, en el cuál la gravedad está descrita analíticamente por el vector <math>\vec{g}=-g\vec{k} </math>, la ecuación parámetrica de dicha hélice es:
<center>
<math>
\Gamma:\vec{r}(\theta) = x(\theta)\,\vec{\imath} + y(\theta)\,\vec{\jmath} + z(\theta)\,\vec{k}
\left\{
\begin{array}{l}
x(\theta) = a\cos\theta\\
\\
y(\theta) = a\,\mathrm{sen}\,\theta\\
\\
z(\theta) = \lambda\,\theta
\end{array}
\right.
</math>
</center>
donde <math>a </math> y <math>\lambda </math> son constantes. EL parámetro geométrico <math>\theta </math> es el ángulo que forma con el eje <math>OX </math> la proyección del radio-vector <math>\vec{r}=\overrightarrow{OP} </math> sobre el plano horizontal <math>OXY </math>. Cuando la partícula recorre la hélice <math>\Gamma </math>, sin rozamiento apreciable, su movimiento queda descrito por la ley horaria <math>\theta(t) </math>.
#Determine cuál debe ser el valor de la constante <math>\lambda </math> para que el radio de curvatura de la hélice sea <math>R_{\kappa}=3a/2 </math>. ¿Qué distancia <math>h </math> asciende la partícula en la dirección vertical cada vez que da una vuelta completa alrededor del eje <math>OZ </math>.
#Obtenga la expresiones de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración en términos de la ley horaria <math>\theta(t) </math> y/o sus derivadas.
#Discuta razonadamente si se verificará la conservación (total o parcial) del momento cinético <math>\vec{L}_O </math> de la partícula, calculado respecto del punto fijo <math>O </math>.


== Solución ==
Hay diferentes maneras de resolver este problema. Vamos a describir una de ellas y al final discutiremos otras posibilidades.

=== Valor del parámetro <math>\lambda </math>===
Tenemos la descripción paramétrica de la curva. Podemos calcular la curvatura, y de ahí el radio de curvatura, basándonos en esta descripción. La curvatura es
<center>
<math>
\kappa = \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}\right|
</math>
</center>
donde <math>\vec{T} </math> es el vector tangente a la curva y <math>s </math> es el parámetro arco. Como no tenemos la curva parametrizada en función del parámetro arco, sino de <math>\theta </math> usamos la regla de cadena para obtener la curvatura:
<center>
<math>
\kappa = \left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}s}\right|
=
\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}\right|\left|\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}\right|
</math>
</center>
Obtenemos el vector tangente derivando el vector de posición respecto de <math>\theta </math>
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta} 
=
-a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + a\cos\theta\,\vec{\jmath} + \lambda\,\vec{k}
</math>
</center>
El módulo es
<center>
<math>
\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|
=
\sqrt{a^2\,\mathrm{sen}^2\theta + a^2\cos^2\theta + \lambda^2}
=
\sqrt{a^2 + \lambda^2}
</math>
</center>
El vector tangente es
<center>
<math>
\vec{T}(\theta) = 
-\dfrac{a\,\mathrm{sen}\,\theta}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{\imath}
+
\dfrac{a\cos\theta}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{\jmath}
+
\dfrac{\lambda}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{k}
</math>
</center>
Su derivada es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta} = -\dfrac{a\cos\theta}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{\imath}
-\dfrac{a\,\mathrm{sen}\,\theta}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
y su módulo
<center>
<math>
\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}\right| =  
\dfrac{a}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}
</math>
</center>
Necesitamos la derivada del parámetro arco respecto al parámetro <math>\theta </math>. Teniendo en cuenta que <math>\mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}| </math> tenemos
<center>
<math>
\mathrm{d}s = |\mathrm{d}\vec{r}| = 
\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|\mathrm{d}\theta
=
\sqrt{a^2+\lambda^2}\,\mathrm{d}\theta
</math>
</center>
Dividiendo por <math>\mathrm{d}s </math> en ambos lados obtenemos
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}
</math>
</center>
Con lo cual la curvatura queda
<center>
<math>
\kappa = \dfrac{a}{a^2+\lambda^2}
</math>
</center>
y el radio de curvatura es
<center>
<math>
R_{\kappa} = \dfrac{1}{\kappa} = \dfrac{a^2+\lambda^2}{a}
</math>
</center>
Observemos que la dimensiones del resultado son coherentes, pues <math>a </math> y <math>\lambda </math> tienen dimensiones de longitud. Para cumplir la condición del enunciado imponemos 
<center>
<math>
R_{\kappa} = \dfrac{3a}{2}
\Longrightarrow
\dfrac{a^2+\lambda^2}{a}
=
\dfrac{3a}{2}
</math>
</center>
Resolviendo para <math>\lambda </math> obtenemos 
<center>
<math>
\lambda = \dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a
</math>
</center>

=== Componentes intrínsecas ===
El ángulo <math>\theta </math> varía con el tiempo según una ley horaria desconocida <math>\theta(t) </math>. Podemos expresar la velocidad y la aceleración de la partícula en función de <math>\theta </math> y sus derivadas respecto del tiempo. Tenemos para la velocidad
<center>
<math>
\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}
=
-a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}
+
a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}
+
\lambda\dot{\theta}\,\vec{k}
</math>
</center>
Para la aceleración hay que tener en cuenta que tanto <math>\theta </math> como <math>\dot{\theta} </math> son funciones del tiempo. Tenemos
<center>
<math>
\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}
=
(-a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta - a\dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}
+
(a\ddot{\theta}\cos\theta - a\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}
+
\lambda\ddot{\theta}\,\vec{k}
</math>
</center>
Para calcular las componentes intrínsecas lo más sencillo es calcular el vector normal a partir del vector tangente y hacer los productos escalares correspondientes
<center>
<math>
\vec{N}(\theta) = 
\dfrac{
\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}}{\left|\dfrac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}\theta}\right|}
=
-\cos\theta\,\vec{\imath} - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
La componente intrínseca de la velocidad es
<center>
<math>
v = \vec{v}\cdot\vec{T} = \dot{\theta}\sqrt{a^2+\lambda^2}
</math>
</center>
la aceleración tangencial es
<center>
<math>
a_T = \vec{a}\cdot\vec{T} = \ddot{\theta}\sqrt{a^2+\lambda^2}
</math>
</center>
y la aceleración normal es
<center>
<math>
a_N = \vec{a}\cdot\vec{N} = a\dot{\theta}^2
</math>
</center>

=== Momento cinético ===
El momento cinético respecto del punto <math>O </math> es
<center>
<math>
\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{p} 
=
m\vec{r}\times\vec{v}
</math>
</center>
Como tenemos los dos vectores podemos calcular el momento cinético en cada instante
<center>
<math>
\vec{L}_O = 
\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}
\\
a\cos\theta & a\,\mathrm{sen}\,\theta & \lambda\theta
\\
-ma\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta & ma\dot{\theta}\cos\theta & m\lambda\dot{\theta}
\end{array}
\right|
=
ma\lambda\dot\theta\,(\mathrm{sen}\,\theta - \theta\cos\theta)\,\vec{\imath}
-
ma\lambda\dot\theta\,(\cos\theta + \theta\,\mathrm{sen}\,\theta )\,\vec{\jmath}
+
ma^2\dot{\theta}\,\vec{k}
</math>
</center>
Como vemos, ninguna de las tres componentes es constante. Las componentes en <math>X </math> y <math>Y </math> dependen de <math>\theta </math> y <math>\dot{\theta} </math>, y la componente <math>Z </math> depende de <math>\dot{\theta} </math>. Tanto <math>\theta </math> como <math>\dot{\theta} </math> dependen en general del tiempo, así que no son constantes. '''El momento cinético <math>\vec{L}_O </math> no se conserva ni total ni por componentes'''.

Para que el momento cinético sea constante el momento de la fuerza neta respecto a <math>O </math> debe ser cero. Actúan sobre la partícula dos fuerzas, el peso y la fuerza de reacción vincular, que hace que no se salga de la hélice. La fuerza neta en cada instante es
<center>
<math>
\vec{F}_n = m\vec{a} =  ma(-\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}
+
ma(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}
+m\lambda\ddot{\theta}\,\vec{k}
</math>
</center>
Al hacer el momento
<center>
<math>
\vec{M}_O = \vec{r}\times\vec{F}_n 
</math>
</center>
se obtiene que todas las componentes dependen en general del tiempo. La fuerza neta no es nula ni central respecto al punto <math>O </math>. Tampoco hay ninguna componente nula que pudiera implicar la conservación de alguna componente del momento cinético. 

=== Resoluciones alternativas ===

==== Componentes intrínsecas ====
Podemos calcular las componentes intrínsecas usando las expresiones cinemáticas, es decir, derivando sólo respecto al tiempo. Derivando el vector de posición obtenemos la velocidad y la aceleración de la partícula
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v} = 
-a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}
+
a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}
+
\lambda\dot{\theta}\,\vec{k} \\
\vec{a} =
(-a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta - a\dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}
+
(a\ddot{\theta}\cos\theta - a\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}
+
\lambda\ddot{\theta}\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
El vector tangente es 
<center>
<math>
\vec{T} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = -\dfrac{a\,\mathrm{sen}\,\theta}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{\imath}
+
\dfrac{a\cos\theta}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{\jmath}
+
\dfrac{\lambda}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}\,\vec{k}
</math>
</center>
Al calcular así el vector tangente, la componente intrínseca de la velocidad es su módulo
<center>
<math>
v = |\vec{v}| = \dot{\theta}\,\sqrt{a^2+ \lambda^2}
</math>
</center>
La aceleración tangencial es
<center>
<math>
a_T = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|} = \ddot{\theta}\,\sqrt{a^2+\lambda^2}
</math>
</center>
O también se puede calcular derivando la rapidez
<center>
<math>
a_T = \dfrac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t} = \ddot{\theta}\,\sqrt{a^2+\lambda^2}
</math>
</center>
Podemos calcular la aceleración normal de dos maneras
<center>
<math>
a_N = \dfrac{|\vec{a}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} = \sqrt{|\vec{a}|^2 - a_T^2} = a\,\dot{\theta}^2
</math>
</center>
Una vez llegados aquí podemos calcular el radio de curvatura como
<center>
<math>
R_{\kappa} = \dfrac{v^2}{a_N} = \dfrac{a^2+\lambda^2}{a}
</math>
</center>
e imponer la condición para calcular <math>\lambda </math>.

==== Condición sobre el radio de curvatura ====
'''Esta técnica sólo es válida para el primer apartado'''. No conocemos <math>\theta(t) </math>, pero podemos usar el hecho de que las características geométricas de la curva, entre ellas su radio de curvatura, no dependen de como se recorra. Podemos elegir una <math>\theta(t) </math> arbitraria y calcular la velocidad y la aceleración con esa dependencia. Por ejemplo, si escogemos <math>\theta(t)=\omega t </math> obtenemos para la velocidad y la aceleración 
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{v} = -a\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}
+ a\omega\cos(\omega t)\,\vec{\jmath}
+
\lambda\omega\,\vec{k}
\\
\vec{a} = -a\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{\imath}
-
a\omega^2\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}
\end{array}
</math>
</center>
Y ahora calculamos el radio de curvatura como 
<center>
<math>
R_{\kappa} = \dfrac{|\vec{v}|^3}{|\vec{a}\times\vec{v}|} = \dfrac{a^2+\lambda^2}{a}
</math>
</center>
Repetimos, '''esta técnica sólo es válida para el primer apartado'''. Para calcular las componentes intrínsecas no se puede fijar una forma de la ley horaria <math>\theta(t) </math>. Hay que calcularlas en función de <math>\theta </math>, <math>\dot{\theta} </math> y <math>\ddot{\theta} </math>.

=== Errores comunes ===
Estos son algunos de los errores mas habituales encontrados al corregir el problema.
====Inconsistencias dimensionales ====
De la expresión paramétrica <math>\vec{r}(\theta) </math> vemos que las constantes <math>a </math> y <math>\lambda </math> tienen dimensiones de longitud. En mucho exámenes se obtenían expresiones dimensionalmente incoherentes para el radio de curvatura, que también tiene dimensiones de longitud, o para <math>\lambda </math>. Algunos ejemplos son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
R_{\kappa} = \dfrac{1}{\sqrt{a^2+\lambda^2}}
\\ \\
\lambda = \sqrt{\dfrac{3}{2} - a}
\\ \\
\lambda = \sqrt{\dfrac{3}{2} - \dfrac{a}{\dot{\theta}}}
\\ \\
\lambda = \sqrt{\dfrac{a^2}{\dot{2\theta^2}}}
\end{array}
</math>
</center>
Todas estas expresiones son absurdas, pues las dimensiones están mal.

==== Suponer una ley para <math>\theta(t) </math>====
Hemos visto que el primer apartado se puede resolver escogiendo arbitrariamente una ley horaria <math>\theta(t) </math>. Pero haciendo esto no se obtiene un resultado correcto para las componentes intrínsecas. Éstas hay que dejarlas en función de <math>\theta(t) </math> y sus derivadas primera y segunda respecto al tiempo.

==== Derivar mal respecto del tiempo para calcular la aceleración====
En varios casos se ha aplicado mal el proceso de derivar respecto del tiempo, especialmente al calcular la aceleración. 

==== Aplicación incorrecta de la regla de la cadena ====
Podemos aplicar la regla de la cadena para calcular la velocidad y la aceleración, pero hay que hacerlo bien. Para la velocidad tenemos
<center>
<math>
\vec{v} = 
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}
=
\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}
\dot{\theta}
</math>
</center>
Para la aceleración hay que tener en cuenta que tanto <math>\theta </math> como <math>\dot{\theta} </math> dependen del tiempo. Para aplicar la regla de la cadena bien hay que hacer
<center>
<math>
\vec{a} = 
\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}
=
\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\theta}
\dot{\theta}
+
\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\dot{\theta}}
\ddot{\theta}
</math>
</center>

==== Ignorar la fuerza de reacción vincular ====
El enunciado dice que la partícula recorre el vínculo (la hélice) sólo sometida a la acción de la gravedad. Pero la presencia del vínculo (hélice) hace que aparezca '''necesariamente''' una fuerza de reacción vincular. En este caso es perpendicular a la hélice, pues no hay rozamiento. La fuerza neta sobre la partícula en cada instante es
<center>
<math>
\vec{F}_n = m\vec{g} + \vec{\Phi}
</math>
</center>
siendo  <math>\vec{\Phi} </math> la fuerza de reacción vincular.

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[[Categoría: Problemas de cinemática del punto]]