Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una partícula de masa $m=20.0\,\mathrm {kg}$ recorre una trayectoria elíptica en el plano $XY$. La ecuación de la elipse es $(x/2d)^{2}+(y/d)^{2}=1$, con $d=2.00\,\mathrm {m}$. En el instante inicial la partícula se encontraba en el punto $A$ con velocidad ${\vec {v}}_{A}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}$, siendo $v_{0}=3.00\,\mathrm {cm/s}$. Durante su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen $O$.

1. Calcula el momento angular de la partícula respecto al origen.
2. Calcula la velocidad de la partícula cuando está en el punto $B$.
3. Calcula la velocidad areolar de la partícula.

Solución

Momento angular respecto al origen

La única fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el origen. Por tanto es una fuerza central, y se conserva el momento angular de la partícula respecto al origen

${\dot {\vec {L}}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times {\vec {f}}={\vec {0}}\Longrightarrow {\vec {L}}_{O}={\vec {\mathrm {cte} }}={\vec {L}}_{O}(t=0).$

Entonces basta con calcular el momento angular en el instante inicial. Tenemos

${\vec {L}}_{O}(t=0)={\overrightarrow {OA}}\times (m{\vec {v}}_{0})=(2d\,{\vec {\imath }})\times (mv_{0}\,{\vec {\jmath }})=2mv_{0}d\,{\vec {k}}=2.40\,\mathrm {kg\,m^{2}/s} .$

Velocidad de la partícula en $B$

El momento angular de la partícula cuando está en el punto $B$ es

${\vec {L}}_{O}(B)={\overrightarrow {OB}}\times (m{\vec {v}}_{B})=(d\,{\vec {\jmath }})\times (-mv_{B}\,{\vec {\imath }})=mv_{B}d\,{\vec {k}}.$

Como el momento angular se conserva durante todo el movimiento tenemos

${\vec {L}}_{O}(B)={\vec {L}}_{O}(t=0)\Longrightarrow mv_{B}d=2mv_{0}d\Longrightarrow v_{B}=2v_{0}=6.00\,\mathrm {cm/s} .$

Y el vector velocidad en $B$ es

${\vec {v}}_{B}=-6.00\,{\vec {\imath }}\,(\mathrm {cm/s} ).$

Velocidad areolar

Hemos visto en teoría que la velocidad areolar está relacionada con el módulo del momento angular. Podemos derivar esta relación de nuevo. En un intervalo de tiempo $\mathrm {d} t$ la partícula realiza un desplazamiento $\mathrm {d} {\vec {r}}$. El área del triángulo formado por ${\vec {r}}$ y $\mathrm {d} {\vec {r}}$ es

$\mathrm {d} A=\left|{\dfrac {1}{2}}{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}\right|.$

Entonces la velocidad areolar es

$v_{ar}={\dfrac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=\left|{\dfrac {1}{2}}{\vec {r}}\times {\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\right|=\left|{\dfrac {1}{2}}{\vec {r}}\times {\vec {v}}\right|={\dfrac {1}{2m}}\left|{\vec {r}}\times (m{\vec {v}})\right|={\dfrac {|{\vec {L}}_{O}|}{2m}}.$

Sustituyendo los valores numéricos tenemos

$v_{ar}=0.0600\,\mathrm {m^{2}/s} =600\,\mathrm {cm^{2}/s} .$

Errores comunes detectados en la corrección

1. No se puede escribir el vector de posición de una partícula que recorre una elipse de la forma

${\overrightarrow {OP}}=R\cos \theta \,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}.$