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= Enunciado =
[[Archivo:F1GIERM-particulaElipse-Enunciado.png|right]]
Una partícula de masa <math>m=20.0\,\mathrm{kg}</math> recorre una trayectoria elíptica en el plano <math>XY</math>. La ecuación de 
la elipse es <math>(x/2d)^2 + (y/d)^2=1</math>, con <math>d=2.00\,\mathrm{m}</math>. En el instante inicial la partícula se 
encontraba en el punto <math>A</math> con velocidad <math>\vec{v}_A=v_0\,\vec{\jmath}</math>, siendo <math>v_0=3.00\,\mathrm{cm/s}</math>. Durante
su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen <math>O</math>.
#Calcula el momento angular de la partícula respecto al origen.
#Calcula la velocidad de la partícula cuando está en el punto <math>B</math>.
#Calcula la velocidad areolar de la partícula.

= Solución =

== Momento angular respecto al origen ==

La única fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el origen. Por tanto es una fuerza central, y se conserva el momento angular de la partícula respecto al origen
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{f} = \vec{0}
\Longrightarrow
\vec{L}_O = \vec{\mathrm{cte}} = \vec{L}_O(t=0).
</math>
</center>
Entonces basta con calcular el momento angular en el instante inicial. Tenemos
<center>
<math>
\vec{L}_O(t=0) = \overrightarrow{OA}\times(m\vec{v}_0) = (2d\,\vec{\imath})\times(mv_0\,\vec{\jmath})
=2mv_0d\,\vec{k} = 2.40 \,\mathrm{kg\,m^2/s}.
</math>
</center>

== Velocidad de la partícula en <math>B</math> ==
El momento angular de la partícula cuando está en el punto <math>B</math> es
<center>
<math>
\vec{L}_O (B) = \overrightarrow{OB}\times(m\vec{v}_B) = (d\,\vec{\jmath})\times(-mv_B\,\vec{\imath})
=mv_Bd\,\vec{k}.
</math>
</center>
Como el momento angular se conserva durante todo el movimiento tenemos
<center>
<math>
\vec{L}_O (B)= \vec{L}_O(t=0)
\Longrightarrow
mv_Bd = 2mv_0d
\Longrightarrow
v_B = 2v_0 = 6.00\,\mathrm{cm/s}.
</math>
</center>
Y el vector velocidad en <math>B</math> es
<center>
<math>
\vec{v}_B = -6.00\,\vec{\imath} \, (\mathrm{cm/s}).
</math>
</center>

== Velocidad areolar ==
Hemos visto en teoría que la velocidad areolar está relacionada con el módulo del momento angular. Podemos derivar esta relación de nuevo. En un intervalo de tiempo <math>\mathrm{d}t</math> la partícula realiza un desplazamiento <math>\mathrm{d}\vec{r}</math>. El área del triángulo formado por <math>\vec{r}</math> y <math>\mathrm{d}\vec{r}</math> es
<center>
<math>
\mathrm{d}A = \left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{r}\right|.
</math>
</center>
Entonces la velocidad areolar es
<center>
<math>
v_{ar} = \dfrac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}
=
\left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|
=
\left|\dfrac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}\right|
=
\dfrac{1}{2m}\left|\vec{r}\times(m\vec{v})\right|
=
\dfrac{|\vec{L}_O|}{2m}.
</math>
</center>
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
<center>
<math>
v_{ar} = 0.0600\,\mathrm{m^2/s} = 600\,\mathrm{cm^2/s}.
</math>
</center>

== Errores comunes detectados en la corrección ==
#No se puede escribir el vector de posición de una partícula que recorre una elipse de la forma
<center>
<math>
\overrightarrow{OP} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}.
</math>
</center>