Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Partícula girando suspendida de un hilo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m gira horizontalmente con rapidez v0, atada a un hilo inextensible y sin masa de longitud b. El hilo forma un ángulo constante θ con la vertical. En t = 0 la partícula se encuentra en el plano OXZ, según los ejes indicados en la figura.

  1. Exprese las ecuaciones horarias del movimiento: x(t), y(t) y z(t).
  2. Calcule el valor de v0 así como la tensión del hilo, en función del ángulo θ (y m, g y b). Si el hilo soporta una tensión máxima Fmax = 3mg, que si se supera se rompe, ¿cuál es la rapidez máxima que le podemos comunicar a la masa sin que se rompa el hilo?
  3. Calcule la energía mecánica de la partícula como función de θ (y m, g y b, pero no v0). Tómese como origen de energía potencial el punto O de anclaje del hilo
  4. Calcule el momento cinético de la partícula respecto al punto O como función de θ y del tiempo (y m, g y b, pero no v0). ¿Es constante alguna de sus componentes?

2 Ecuaciones horarias

La partícula tiene una altura constante, ya que gira horizontalmente

z=-b\,\cos(\theta)

Su movimiento es circular, siendo el radio de la circunferencia

R=b\,\mathrm{sen}(\theta)

La partícula se mueve con rapidez constante v0 por lo que su periodo de revolución sale de

v_0=\frac{2\pi R}{T}\qquad\Rightarrow\qquad T = \frac{2\pi b\,\mathrm{sen}(\theta)}{v_0}

y por tanto la velocidad angular vale

\omega = \frac{2\pi}{T}=\frac{v_0}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}

lo que nos da las ecuaciones horarias restantes

x = R\cos(\omega t)=b\,\mathrm{sen}(\theta)\cos\left(\frac{v_0 t}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}\right)\qquad\qquad y = R\,\mathrm{sen}(\omega t)=b\,\mathrm{sen}(\theta)\,\mathrm{sen}\left(\frac{v_0 t}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}\right)

3 Velocidad y tensión

Esta parte es casi idéntica a otro problema ya resuelto.

La partícula descrive un movimiento circular uniforme, por lo que su aceleración será puramente normal y hacia adentro de la circunferencia. Empleando coordenadas cilíndricas

\vec{a}=-\frac{v_0^2}{R}\vec{u}_\rho

Esta aceleración es causada por la superposición de dos fuerzas:

  • El peso
m\vec{g}=-mg \vec{k}
  • La tensión del hilo, dirigida a lo largo de éste
\vec{F}_T=F_T\left(-\mathrm{sen}(\theta)	\vec{u}_\rho+\mathrm{cos}(\theta)\vec{k}\right)

Llevando esto a la segunda ley de Newton

m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_T

queda, por componentes

m\frac{v_0^2}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}=F_T\,\mathrm{sen}(\theta)

y

0 = -mg + F_T\cos(\theta)\,

De aquí obtenemos la tensión

F_T = \frac{mg}{\cos(\theta)}

y la rapidez de la partícula

v_0=\sqrt{\frac{F_Tb}{m}}\,\mathrm{sen}(\theta)=\sqrt{gb}\frac{\mathrm{sen}(\theta)}{\sqrt{\mathrm{cos}(\theta)}}

Siu la tensión máxima vale 3mg, entonces el coseno del ángulo debe cumplir

3mg \geq \frac{mg}{\mathrm{cos}(\theta)}\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{cos}(\theta)\geq \frac{1}{3}

siendo el valor máximo de la rapidez el correspondiente a que el coseno valga 1/3, es decir

v_{0\mathrm{max}} = \sqrt{gb}\frac{\sqrt{8/9}}{\sqrt{1/3}}=\sqrt{\frac{8gb}{3}}

4 Energía mecánica

La energía mecánica de la partícula es la suma de la cinética más la potencial

E=\frac{1}{2}mv_0^2+mgh

Sustituimos aquí el valor de la rapidez

E=\frac{1}{2}m gb\frac{\mathrm{sen}^2(\theta)}{\mathrm{cos}(\theta)}-mgb\,\mathrm{cos}(\theta)

Agrupamos términos

E= \frac{mgb}{2}\left(\frac{1-\mathrm{cos}^2(\theta)}{\mathrm{cos}(\theta)}-2\,\mathrm{cos}(\theta)\right)=\frac{mgb(1-3\,\mathrm{cos}^2(\theta))}{2\,\mathrm{cos}(\theta)}

El valor máximo de esta energía sin que se rompa el hilo será

E_\mathrm{max}= \frac{mgb (1-1/3)}{2(1/3)}=mgb

5 Momento cinético

El momento cinético respecto al punto O se calcula como

\vec{L}_O=m\vec{r}\times\vec{v}

Si escribimos la posición como

\vec{r}=R\cos(\omega t)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-b\,\cos(\theta)\vec{k}

donde

R=b\,\mathrm{sen}(\theta)\qquad\qquad \omega = \frac{v_0}{b\,\mathrm{sen}(\theta)}=\sqrt{\frac{g}{b\cos(\theta)}}

nos queda la velocidad

\vec{v}=\dot{\vec{r}}=-R\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+R\omega\,\mathrm{cos}(\omega t)\vec{\jmath}

y el momento cinético

\vec{L}_O=m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ R\cos(\omega t) & R\,\mathrm{sen}(\omega t) &-b\,\cos(\theta)\\
-R\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)& R\omega\,\mathrm{cos}(\omega t) & 0 \end{matrix}\right|

con el resultado, por componentes,

\begin{array}{rcl} L_x & = & mRb\omega\cos(\omega t) \\ L_y & = & mRb\omega\,\mathrm{sen}(\omega t) \\ L_z & = & mR^2\omega\end{array}

Vemos que la componente Lz es constante e igual a

L_z = mR^2\omega = mb\,\mathrm{sen}(\theta)v_0=mb\sqrt{gb}\frac{\mathrm{sen}^2(\theta)}{\sqrt{\mathrm{cos}(\theta)}}

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 06:21, 13 sep 2016. - Esta página ha sido visitada 1.239 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace