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Partícula ensartada en aro con muelle

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una pequeña anilla de masa m se encuentra ensartada en un aro de radio R, situado horizontalmente (es decir, en este problema el peso no desempeña ningún papel). La anilla puede moverse sobre el aro sin rozamiento. La anilla se encuentra unida a un resorte de constante k y longitud natural nula, \ell_0=0, estando su otro extremo atado a un punto fijo del aro (es decir, el muelle ejerce una fuerza \vec{F}=-k\overrightarrow{AP}, siendo A el extremo fijo y P la posición de la partícula). Situamos los ejes de manera que el centro coincide con el origen y el punto fijo del resorte está en \overrightarrow{OA}=-R\vec{\imath}. La particula se encuentra inicialmente en reposo en el punto diametralmente opuesto, \overrightarrow{OB}=+R\vec{\imath}. Entonces se le comunica una muy ligera velocidad en la dirección de +\vec{\jmath}

  1. Calcule la fuerza de reacción que ejerce el aro cuando la anilla se encuentra en su posición inicial.
  2. Con ayuda de la energía mecánica, calcule la velocidad de la anilla y la fuerza de reacción del aro cuando, en su movimiento, pasa por el punto diametralmente opuesto, A.
  3. Calcule la velocidad de la anilla y la fuerza de reacción del aro cuando, en su movimiento, pasa por el punto D, situado a medio camino entre B y A.
  4. Calcule la velocidad de la anilla y la fuerza de reacción del aro cuando, en su movimiento, pasa por un punto P tal que el ángulo que forma el vector de posición respecto al centro con el eje OX es θ.
  

2 Posición inicial, B

El punto B es uno de equilibrio, ya que en él las dos fuerzas que actúan sobre la anilla (la fuerza elástica y la de reacción del aro) son perpendiculares al aro y, por tanto, no producen movimiento lateral.

Al estar en reposo inicialmente la aceleración normal es nula, por lo que se cumple

\vec{F}_e+\vec{F}_n = 0

siendo la fuerza elástica

\vec{F}_e=-k\overrightarrow{AB}=-2kR\vec{\imath}

y, por tanto,

\vec{F}_n=+2kR\vec{\imath}

Esta fuerza es radial y hacia el exterior del aro.

3 Punto diametralmente opuesto, A

En el punto A la fuerza elásticas es nula

\vec{F}_e=-k\overrightarrow{AA}=\vec{0}

pero esto no implica que la fuerza de reacción lo sea, ya que ahora sí tenemos aceleración normal. La segunda ley de Newton en la dirección radial en este punto queda

-m\frac{v_A^2}{R}=F_n

apuntando la aceleración normal hacia el interior del aro (y por tanto, resultará una fuerza de reacción hacia el interior).

Necesitamos conocer la velocidad de la partícula en ese punto. Para ello aplicamos la ley de conservación de la energía mecánica

K_A+U_A=K_B+U_B\,

siendo la energía potencial la correspondiente a un resorte en este caso

U=\frac{1}{2}k\ell^2 = \frac{1}{2}k\left|\overrightarrow{AP}\right|^2

La energía potencial inicial es

U_B=\frac{1}{2}k(2R)^2 = 2kR^2

Por tanto, tenemos

\frac{1}{2}mv_A^2 +0 = 0 + 2kR^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_A=2\sqrt{\frac{k}{m}}R\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_A=-2\sqrt{\frac{k}{m}}R\vec{\jmath}

siendo la aceleración normal

\frac{v_A^2}{R}=\frac{4kR}{m}

y la fuerza normal

F_n = -m\frac{v_A^2}{R}=-4kR\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_n=4kR\vec{\imath}

La fuerza es de módulo doble a la inicial, pero además, ahora va hacia el interior del aro.

4 Punto intermedio, D

En el punto intermedio el razonamiento es similar, pero ahora la fuerza elástica no es nula. Si proyectamos la segunda ley de Newton en la dirección radial queda

-m\frac{v_D^2}{R}=F_{e\rho}+F_n

El primer término lleva un signo negativo porque la dirección radial es hacia afuera y la aceleración normal es hacia adentro. Feρ es la componente radial de la fuerza elástica. En forma vectorial esta fuerza vale

\vec{F}_e=-k\overrightarrow{AD}=-k(R\vec{\imath}+R\vec{\jmath})

En el punto D el vector radial no es otro que

\vec{u}_\rho=\vec{\jmath}

por lo que

F_{e\rho}=F_{ey}=-kR\,

Esto nos da

F_n = kR-m\frac{v_D^2}{R}

Como en el apartado anterior necesitamos la rapidez en el punto D. Aplicamos de nuevo la ley de conservación de la energía mecánica.

K_D+U_D=K_B+U_B\,

siendo la energía potencial en D no es nula en este caso, ya que el muelle está estirado

U_D= \frac{1}{2}k\left|\overrightarrow{AD}\right|^2=\frac{1}{2}k(R^2+R^2)=kR^2

La energía potencial inicial es la misma de antes

U_B=\frac{1}{2}k(2R)^2 = 2kR^2

Por tanto, tenemos

\frac{1}{2}mv_D^2 +kR^2 = 0 + 2kR^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_D=\sqrt{\frac{2k}{m}}R\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_A=-\sqrt{\frac{2k}{m}}R\vec{\imath}

y nos queda la fuerza normal

F_n = kR-m\frac{v_D^2}{R}=kR-2kR=-kR\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_n=-kR\vec{\jmath}

5 Punto genérico, P

El caso de un punto general es mucho más complicado que los anteriores, aunque los contiene como casos particulares, lo que nos puede servir para comprobar si los resultados son correctos o no.

El razonamiento es el mismo que en el del apartado anterior. Proyectando en la dirección radial

-m\frac{v_P^2}{R}=F_{e\rho}+F_n

En un punto cualquiera la fuerza elástica es

\vec{F}_e=-k\overrightarrow{AP}=-k\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}\right)=-kR((1+C)\vec{\imath}+S\vec{\jmath})

donde, como en otras ocasiones C = cos(θ), S = sen(θ). El vector radial vale, en un punto cualquiera

\vec{u}_\rho=C\vec{\imath}+S\vec{\jmath}

lo que nos da la fuerza elástica radial

\vec{F}_{e\rho}=-KR((1+C)C+S^2)=-kR(1+C)\,

y, por tanto,

F_n=kR(1+C)-m\frac{v_P^2}{R}

Para hallar la velocidad en P aplicamos de nuevo la conservación de la energía. Ahora tenemos

U_P=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AP}\right|^2 =\frac{1}{2}kR^2((1+C)^2+S^2)=kR^2(1+C)

y, por tanto,

K_P+U_P=k_B+U_B\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{2}mv_P^2 +kR^2(1+C)=2kR^2\qquad\Rightarrow\qquad 
v_P=\sqrt{\frac{2k}{m}(1-C)}R

Podemos ver que coinciden los casos anteriores. En B, C = + 1 y vB = 0; en A, C = − 1 y v_A=2R\sqrt{k/m}; en D, C = 0 y v_C=R\sqrt{2k/m}

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria

\vec{v}_O=v_P\vec{u}_\theta=v_P\left(-S\vec{\imath}+C\vec{\jmath}\right)

La fuerza normal vale, por ello,

F_n=kR(1+C)-m\frac{v_P^2}{R}=kR(1+C)-2kR(1-C)=kR(3C-1)

Podemos ver que, en efecto, para C = + 1 (B) Fn = 2kR, para C = − 1 (A) Fn = − 4kR y para C = 0 Fn = − kR.

En forma vectorial

\vec{F}_n=F_n\vec{u}_\rho=kR(3C-1) \left(C\vec{\imath}+S\vec{\jmath}\right)

Esta fuerza se anula cuando cos(θ) = 1 / 3

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