http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Part%C3%ADcula_engarzada_en_un_hilo_circular_con_un_muelle,_Enero_2018_(G.I.E.R.M.)&feed=atom&action=historyPartícula engarzada en un hilo circular con un muelle, Enero 2018 (G.I.E.R.M.) - Historial de revisiones2024-03-28T23:07:29ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Part%C3%ADcula_engarzada_en_un_hilo_circular_con_un_muelle,_Enero_2018_(G.I.E.R.M.)&diff=1218&oldid=prevPedro: Página creada con «= Enunciado = 250px Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto <math>A</math> y se…»2023-10-31T12:28:04Z<p>Página creada con «= Enunciado = <a href="/wiki/index.php/Archivo:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_enunciado.png" title="Archivo:F1GIERM ParticulaAroMuelle enunciado.png">right|250px</a> Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto <math>A</math> y se…»</p>
<p><b>Página nueva</b></p><div>= Enunciado =<br />
[[Imagen:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_enunciado.png|right|250px]]<br />
Una partícula de masa <math>m</math> está engarzada en un aro de radio <math>R</math>. El contacto<br />
entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante<br />
elástica <math>k</math> y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en<br />
el punto <math>A</math>. En el instante inicial la partícula se<br />
encuentra en el punto <math>A</math> y se le comunica una velocidad vertical de módulo<br />
<math>v_0</math>.<br />
#Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.<br />
#Calcula el momento cinético de la partícula cuando <math>\theta=\pi/4</math>.<br />
#¿Cuál es el valor mínimo de <math>v_0</math> para que la partícula llegue hasta el punto <math>B</math>?<br />
<br />
'''Nota:''' La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión <math>U_k=kl^2/2</math>, siendo <math>l</math> su longitud.<br />
<br />
= Solución =<br />
<br />
== Análisis previo ==<br />
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza<br />
vincular normal que el aro ejerce sobre ella. Las dos primeras son conservativas y la última, aunque<br />
no conservativa, no realiza trabajo. Es decir, la energía mecánica de la partícula se conserva a lo largo<br />
de su movimiento.<br />
<br />
== Expresión de la energía mecánica ==<br />
La energía cinética es<br />
<center><br />
<math><br />
T = \dfrac{1}{2}mv^2,<br />
</math><br />
</center><br />
donde <math>v</math> es la rapidez de la partícula. <br />
<br />
La energía potencial gravitatoria puede escribirse<br />
<center><br />
<math><br />
U_g = mgy = mgR\,\mathrm{sen}\theta.<br />
</math><br />
</center><br />
Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura <math>y=0</math>.<br />
<br />
La energía potencial elástica es <br />
<center><br />
<math><br />
U_k = \dfrac{1}{2}kl^2 = \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
La energía mecánica es<br />
<center><br />
<math><br />
E = T + U_g + U_k = \dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta + \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.<br />
</math><br />
</center><br />
En el instante inicial tenemos <math>v=v_0</math> y <math>\theta=0</math>. Entonces<br />
<center><br />
<math><br />
E(0) = \dfrac{1}{2}mv_0^2<br />
</math><br />
</center><br />
Como la energía mecánica se conserva, en cualquier instante del movimiento se cumple<br />
<center><br />
<math><br />
\dfrac{1}{2}mv_0^2<br />
=<br />
\dfrac{1}{2}mv^2 + mgR\,\mathrm{sen}\theta + \dfrac{1}{2}kR^2\theta^2.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
== Momento cinético ==<br />
[[Imagen:F1GIERM_ParticulaAroMuelle_LO.png|right|250px]]<br />
<br />
El momento cinético (o angular) de una partícula respecto a un punto es<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v})<br />
</math><br />
</center><br />
Cuando <math>\theta=\pi/4</math> tenemos<br />
<center><br />
<math><br />
\overrightarrow{OP} = R\cos(\pi/4)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\jmath} =<br />
\dfrac{R}{\sqrt{2}}\,\left(\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right)<br />
</math><br />
</center><br />
Para el módulo de la velocidad en este instante, <math>v_1</math>, tenemos, de la conservación de energía mecánica<br />
<center><br />
<math><br />
\dfrac{1}{2}mv_0^2<br />
=<br />
\dfrac{1}{2}mv_1^2 + \dfrac{mgR}{\sqrt{2}} + \dfrac{\pi^2}{32}kR^2.<br />
</math><br />
</center><br />
Por tanto<br />
<center><br />
<math><br />
v_1 = \sqrt{v_0^2 - \sqrt{2}gR - \dfrac{\pi^2}{16}kR^2}<br />
</math><br />
</center><br />
Del dibujo vemos que el vector velocidad es<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{v}_1 = v_1 (-\,\mathrm{sen}\,(\pi/4)\,\vec{\imath} + \cos(\pi/4)\,\vec{\jmath}<br />
=<br />
\dfrac{v_1}{\sqrt{2}}\,\left(-\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right).<br />
</math><br />
</center><br />
Aquí, <math>v_1</math> viene dado por la expresión que hemos obtenido antes.<br />
<br />
El momento cinético pedido es<br />
<center><br />
<math><br />
\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v}_1) = mRv_1\,\vec{k}.<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
== Velocidad mínima ==<br />
Utilizando de nuevo la expresión obtenida de la conservación de la energía mecánica vemos que, cuando<br />
<math>\theta=\pi/2</math> se cumple<br />
<center><br />
<math><br />
\dfrac{1}{2}mv_0^2<br />
=<br />
\dfrac{1}{2}mv_B^2 + mgR+ \dfrac{\pi^2}{8}kR^2.<br />
</math><br />
</center><br />
La rapidez en el punto <math>B</math> es<br />
<center><br />
<math><br />
v_B = \sqrt{v_0^2 - mgR - \dfrac{\pi^2}{8}kR^2}<br />
</math><br />
</center><br />
Para que llegue arriba esta rapidez debe ser mayor o igual que cero. Entonces la condición es<br />
<center><br />
<math><br />
v_0\geq<br />
\sqrt{mgR + \dfrac{\pi^2}{8}kR^2}<br />
<br />
</math><br />
</center><br />
<br />
[[Categoría:Problemas de Dinámica de la partícula]]<br />
[[Categoría:Problemas de Cinética de la partícula]]<br />
[[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]]<br />
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